Όλα τα μαθήματα

Σειρά μαθημάτων

Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου: Άλγεβρα 1

Λύσε εξισώσεις και ανισώσεις, σχεδίασε γραμμικές και εκθετικές συναρτήσεις, παραγοντοποίησε πολυώνυμα και λύσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Κάνε τα μαθήματα με τη σειρά, από τις εκφράσεις ως τη λύση προβλημάτων μόνος σου. Στο τέλος, μπορείς να λύνεις γραμμικές εξισώσεις, να αναδιατάσσεις τύπους και να λύνεις σύνθετες ανισώσεις και ανισώσεις με απόλυτη τιμή. Μπορείς να χρησιμοποιείς συμβολισμό συνάρτησης, να γράφεις γραμμικές εξισώσεις σε πολλές μορφές και να μοντελοποιείς με αριθμητικές προόδους. Μπορείς να λύνεις συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων και να σχεδιάζεις τμηματικές συναρτήσεις. Μπορείς να χρησιμοποιείς ρητούς εκθέτες, να μοντελοποιείς εκθετική αύξηση και μείωση και να συγκρίνεις γραμμικά και εκθετικά μοντέλα. Μπορείς να προσθέτεις, να πολλαπλασιάζεις και να παραγοντοποιείς πολυώνυμα, να σχεδιάζεις δευτεροβάθμιες συναρτήσεις και να λύνεις δευτεροβάθμιες εξισώσεις με παραγοντοποίηση, συμπλήρωση τετραγώνου και τον τύπο της δευτεροβάθμιας. Μπορείς να συνοψίζεις δεδομένα με την τυπική απόκλιση, πίνακες διπλής εισόδου και υπόλοιπα.

Πώς να χρησιμοποιείς αυτά τα μαθήματα

  • Ξεκίνα από το μάθημα που λέει Κάνε αυτό. Προχώρα όταν μπορείς να κάνεις μόνος σου τη γραμμή κάτω από τον τίτλο.
  • Πρώτα παίξε τα Παιχνίδια. Μετά κάνε το Κουίζ. 8 από 10 σωστές για να περάσεις. Τα Φύλλα εργασίας είναι σε χαρτί. Οι απαντήσεις είναι κάτω.
  • Κάθε μάθημα στηρίζεται στο προηγούμενο. Αν ένα μάθημα είναι δύσκολο, γύρνα ένα πίσω.
  • Γράψε κάθε βήμα. Έλεγξε κάθε λύση βάζοντάς την πίσω στην αρχική εξίσωση. Ένας υπολογιστής γραφικών ή μια δωρεάν εφαρμογή γραφικών σε βοηθά να δεις τις συναρτήσεις, αλλά σχεδίασε πρώτα τη γραφική παράσταση με το χέρι.

Κάθε μάθημα έχει παιχνίδια, κουίζ και φύλλα εργασίας.

0 από 41

Εκφράσεις και εξισώσεις

  1. 1Εκφράσεις και ιδιότητεςΑπλοποίησε εκφράσεις με τις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών.
    • Χρησιμοποίησε τις ιδιότητες της αντιμεταθετικότητας, της προσεταιριστικότητας και της επιμεριστικότητας.
    • Ονόμασε τους όρους, τους παράγοντες και τους συντελεστές μιας έκφρασης.
    • Ερμήνευσε μέρη μιας έκφρασης σε πλαίσιο, όπως P(1 + r)^n.
  2. 2Λύσε γραμμικές εξισώσειςΛύσε γραμμικές εξισώσεις με πολλά βήματα και δικαιολόγησε κάθε βήμα.
    • Λύσε εξισώσεις με κλάσματα και μεταβλητές και στις δύο πλευρές.
    • Εξήγησε κάθε βήμα με μια ιδιότητα.
    • Αναγνώρισε εξισώσεις χωρίς λύση ή με όλους τους πραγματικούς αριθμούς.
  3. 3Εξισώσεις με γράμματα και τύποιΑναδιάταξε τύπους και εξισώσεις με γράμματα για να λύσεις ως προς άλλη μεταβλητή.
    • Λύσε την A = 1/2 bh ως προς h.
    • Λύσε την d = rt ως προς t.
    • Λύσε την 2x + 3y = 6 ως προς y.
  4. 4Μονάδες και μοντελοποίησηΧρησιμοποίησε μονάδες για να στήσεις και να ελέγξεις ένα μοντέλο.
    • Μετάτρεψε μονάδες με διαστατική ανάλυση.
    • Διάλεξε ένα λογικό επίπεδο ακρίβειας.
    • Γράψε μια εξίσωση για μια πραγματική κατάσταση.

Ανισώσεις

  1. 5Λύσε γραμμικές ανισώσειςΛύσε και σχεδίασε γραμμικές ανισώσεις με πολλά βήματα.
    • Αντέστρεψε το πρόσημο όταν πολλαπλασιάζεις ή διαιρείς με αρνητικό.
    • Σχεδίασε τη λύση στην αριθμογραμμή.
    • Γράψε τη λύση με συμβολισμό διαστήματος.
  2. 6Σύνθετες ανισώσειςΛύσε και σχεδίασε ανισώσεις «και» και «ή».
    • Λύσε την −3 < 2x + 1 ≤ 7.
    • Λύσε την x < −2 ή x > 5.
    • Σχεδίασε την τομή ή την ένωση.
  3. 7Εξισώσεις και ανισώσεις με απόλυτη τιμήΛύσε εξισώσεις και ανισώσεις με απόλυτη τιμή.
    • Λύσε την |x − 3| = 5 ως δύο εξισώσεις.
    • Λύσε την |x + 1| < 4 ως ανίσωση «και».
    • Αναγνώρισε πότε δεν υπάρχει λύση.

Γραμμικές συναρτήσεις

  1. 8Συμβολισμός συνάρτησης, πεδίο ορισμού και σύνολο τιμώνΧρησιμοποίησε τον συμβολισμό συνάρτησης f(x) και βρες το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης.
    • Υπολόγισε την f(3) και λύσε την f(x) = 7.
    • Βρες το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών από μια γραφική παράσταση.
    • Διάλεξε ένα λογικό πεδίο ορισμού για μια πραγματική κατάσταση.
  2. 9Ρυθμός μεταβολήςΒρες και εξήγησε τον μέσο ρυθμό μεταβολής σε ένα διάστημα.
    • Βρες τον ρυθμό μεταβολής από πίνακα, γραφική παράσταση ή εξίσωση.
    • Να ξέρεις ότι μια γραμμική συνάρτηση έχει σταθερό ρυθμό μεταβολής.
    • Εξήγησε τις μονάδες του ρυθμού, όπως δολάρια την ώρα.
  3. 10Μορφές γραμμικών εξισώσεωνΓράψε γραμμικές εξισώσεις σε μορφή κλίσης-τομής, σημείου-κλίσης και κανονική μορφή.
    • Γράψε την y − y₁ = m(x − x₁) από ένα σημείο και μια κλίση.
    • Μετάτρεψε από τη μία μορφή στην άλλη.
    • Βρες τις τομές από την κανονική μορφή.
  4. 11Παράλληλες και κάθετες ευθείεςΓράψε εξισώσεις παράλληλων και κάθετων ευθειών.
    • Να ξέρεις ότι οι παράλληλες ευθείες έχουν ίσες κλίσεις.
    • Να ξέρεις ότι οι κάθετες κλίσεις πολλαπλασιάζονται και δίνουν −1.
    • Γράψε ευθεία από ένα σημείο, παράλληλη ή κάθετη σε άλλη.
  5. 12Αριθμητικές πρόοδοιΓράψε αριθμητικές προόδους ως γραμμικές συναρτήσεις.
    • Βρες την κοινή διαφορά.
    • Γράψε τον γενικό τύπο aₙ = a₁ + (n − 1)d.
    • Γράψε έναν αναδρομικό τύπο.

Συστήματα εξισώσεων και ανισώσεων

  1. 13Λύσε συστήματα γραμμικών εξισώσεωνΛύσε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με γραφική παράσταση, αντικατάσταση ή απαλοιφή.
    • Διάλεξε την πιο σύντομη μέθοδο.
    • Εξήγησε γιατί δουλεύει η απαλοιφή.
    • Εντόπισε συστήματα χωρίς λύση ή με άπειρες λύσεις.
  2. 14Συστήματα γραμμικών ανισώσεωνΣχεδίασε ένα σύστημα γραμμικών ανισώσεων και βρες την περιοχή λύσεων.
    • Σχεδίασε την y ≤ 2x + 1 με συνεχή γραμμή και σκίαση.
    • Βρες πού επικαλύπτονται οι σκιασμένες περιοχές.
    • Δοκίμασε ένα σημείο για έλεγχο.
  3. 15Μοντελοποίηση με συστήματαΓράψε και λύσε συστήματα για πραγματικά προβλήματα.
    • Λύσε προβλήματα μειγμάτων και σύγκρισης κόστους.
    • Χρησιμοποίησε περιορισμούς για να βρεις πιθανές λύσεις.
    • Εξήγησε τη λύση στο πλαίσιο.

Απόλυτη τιμή και τμηματικές συναρτήσεις

  1. 16Συναρτήσεις απόλυτης τιμήςΣχεδίασε συναρτήσεις απόλυτης τιμής και τους μετασχηματισμούς τους.
    • Σχεδίασε την y = |x| σε σχήμα V.
    • Σχεδίασε την y = a|x − h| + k.
    • Βρες την κορυφή και προς τα πού ανοίγει.
  2. 17Τμηματικές και βηματικές συναρτήσειςΣχεδίασε και υπολόγισε τμηματικές και βηματικές συναρτήσεις.
    • Υπολόγισε μια τμηματική συνάρτηση σε μια δοσμένη τιμή.
    • Σχεδίασε κάθε κομμάτι στο δικό του πεδίο ορισμού.
    • Μοντελοποίησε τέλη στάθμευσης με μια βηματική συνάρτηση.

Εκθέτες και εκθετικές συναρτήσεις

  1. 18Ιδιότητες εκθετών και ρητοί εκθέτεςΑπλοποίησε εκφράσεις με ακέραιους και ρητούς εκθέτες.
    • Χρησιμοποίησε όλους τους κανόνες των εκθετών μαζί.
    • Γράψε το x^(1/2) ως √x και το 8^(2/3) ως 4.
    • Ξαναγράψε ρίζες με ρητούς εκθέτες.
  2. 19Εκθετική αύξηση και μείωσηΓράψε και σχεδίασε συναρτήσεις εκθετικής αύξησης και μείωσης.
    • Γράψε y = a(1 + r)^t για αύξηση.
    • Γράψε y = a(1 − r)^t για μείωση.
    • Λύσε προβλήματα ανατοκισμού και πληθυσμού.
  3. 20Γεωμετρικές πρόοδοιΓράψε γεωμετρικές προόδους ως εκθετικές συναρτήσεις.
    • Βρες τον κοινό λόγο.
    • Γράψε aₙ = a₁ × r^(n − 1).
    • Γράψε έναν αναδρομικό τύπο.
  4. 21Γραμμικά και εκθετικά μοντέλαΑπόφασε αν μια κατάσταση είναι γραμμική ή εκθετική και σύγκρινε την αύξησή τους.
    • Έλεγξε για ίσες διαφορές ή ίσους λόγους.
    • Να ξέρεις ότι η εκθετική αύξηση κάποια στιγμή ξεπερνά τη γραμμική.
    • Φτιάξε ένα μοντέλο από έναν πίνακα.

Πολυώνυμα και παραγοντοποίηση

  1. 22Πρόσθεσε και αφαίρεσε πολυώνυμαΠρόσθεσε και αφαίρεσε πολυώνυμα.
    • Ονόμασε τον βαθμό και τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου.
    • Γράψε ένα πολυώνυμο σε κανονική μορφή.
    • Συνδύασε όμοιους όρους για να προσθέσεις και να αφαιρέσεις.
  2. 23Πολλαπλασίασε πολυώνυμαΠολλαπλασίασε πολυώνυμα.
    • Πολλαπλασίασε ένα μονώνυμο με ένα πολυώνυμο.
    • Πολλαπλασίασε δύο διώνυμα με ένα μοντέλο εμβαδού.
    • Πολλαπλασίασε ένα διώνυμο με ένα τριώνυμο.
  3. 24Ειδικά γινόμεναΧρησιμοποίησε μοτίβα για ειδικά γινόμενα: τετράγωνα διωνύμων και διαφορές τετραγώνων.
    • Χρησιμοποίησε (a + b)² = a² + 2ab + b².
    • Χρησιμοποίησε (a + b)(a − b) = a² − b².
    • Πολλαπλασίασε γρήγορα με τα μοτίβα.
  4. 25Παραγοντοποίησε με τον μέγιστο κοινό παράγοντα και με ομαδοποίησηΠαραγοντοποίησε βγάζοντας τον μέγιστο κοινό παράγοντα και παραγοντοποίησε με ομαδοποίηση.
    • Παραγοντοποίησε το 6x³ + 9x² ως 3x²(2x + 3).
    • Παραγοντοποίησε τέσσερις όρους με ομαδοποίηση.
    • Έλεγξε με πολλαπλασιασμό.
  5. 26Παραγοντοποίησε τριώνυμαΠαραγοντοποίησε τριώνυμα της μορφής ax² + bx + c.
    • Παραγοντοποίησε x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
    • Παραγοντοποίησε όταν a ≠ 1.
    • Αναγνώρισε ένα τριώνυμο που δεν παραγοντοποιείται.
  6. 27Παραγοντοποίησε ειδικές περιπτώσειςΠαραγοντοποίησε ειδικές περιπτώσεις: τέλεια τετραγωνικά τριώνυμα και διαφορές τετραγώνων.
    • Παραγοντοποίησε το x² − 49.
    • Παραγοντοποίησε το 4x² + 12x + 9.
    • Παραγοντοποίησε πλήρως σε πολλά βήματα.

Δευτεροβάθμιες συναρτήσεις και εξισώσεις

  1. 28Σχεδίασε δευτεροβάθμιες συναρτήσειςΣχεδίασε μια δευτεροβάθμια συνάρτηση και βρες τα βασικά της στοιχεία.
    • Βρες την κορυφή, τον άξονα συμμετρίας και τις τομές.
    • Χρησιμοποίησε x = −b/(2a) για να βρεις την κορυφή.
    • Να ξέρεις πότε η παραβολή ανοίγει πάνω ή κάτω.
  2. 29Μορφή κορυφής και μετασχηματισμοίΣχεδίασε τη μορφή κορυφής y = a(x − h)² + k και περίγραψε τους μετασχηματισμούς.
    • Διάβασε την κορυφή (h, k).
    • Περίγραψε επιμηκύνσεις, συρρικνώσεις, ανακλάσεις και μετατοπίσεις.
    • Γράψε μια δευτεροβάθμια από τη γραφική της παράσταση.
  3. 30Λύσε δευτεροβάθμιες με παραγοντοποίησηΛύσε μια δευτεροβάθμια εξίσωση με παραγοντοποίηση.
    • Χρησιμοποίησε την ιδιότητα του μηδενικού γινομένου.
    • Θέσε πρώτα την εξίσωση ίση με 0.
    • Σύνδεσε τις λύσεις με τις τομές στον άξονα x.
  4. 31Λύσε δευτεροβάθμιες με τετραγωνικές ρίζεςΛύσε δευτεροβάθμιες εξισώσεις με τετραγωνικές ρίζες.
    • Λύσε την x² = 25 και βρες x = ±5.
    • Λύσε την (x − 3)² = 16.
    • Απλοποίησε τις τετραγωνικές ρίζες στις απαντήσεις.
  5. 32Συμπλήρωση τετραγώνουΧρησιμοποίησε συμπλήρωση τετραγώνου για να λύσεις μια δευτεροβάθμια και να βρεις την κορυφή της.
    • Πρόσθεσε (b/2)² και στις δύο πλευρές.
    • Λύσε την x² + 6x − 7 = 0.
    • Ξαναγράψε την κανονική μορφή σε μορφή κορυφής.
  6. 33Ο τύπος της δευτεροβάθμιαςΛύσε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση με τον τύπο της δευτεροβάθμιας.
    • Χρησιμοποίησε x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
    • Χρησιμοποίησε τη διακρίνουσα για να μετρήσεις τις πραγματικές λύσεις.
    • Διάλεξε την καλύτερη μέθοδο για μια δοσμένη εξίσωση.
  7. 34Δευτεροβάθμια μοντέλαΧρησιμοποίησε δευτεροβάθμιες συναρτήσεις για να μοντελοποιήσεις βολές και εμβαδά.
    • Βρες το μέγιστο ύψος μιας πεταμένης μπάλας.
    • Βρες πότε φτάνει στο έδαφος.
    • Βρες τις διαστάσεις που δίνουν μέγιστο εμβαδόν.
  8. 35Γραμμικά-δευτεροβάθμια συστήματαΛύσε ένα γραμμικό-δευτεροβάθμιο σύστημα με μια ευθεία και μια παραβολή.
    • Λύσε με αντικατάσταση.
    • Να ξέρεις ότι μπορεί να υπάρχουν 0, 1 ή 2 λύσεις.
    • Έλεγξε με γραφική παράσταση.

Στατιστική

  1. 36Κατανομές δεδομένων και τυπική απόκλισηΣύγκρινε κατανομές δεδομένων με το σχήμα, το κέντρο, τη διασπορά και την τυπική απόκλιση.
    • Βρες τον μέσο όρο και την τυπική απόκλιση.
    • Διάλεξε διάμεσο και ενδοτεταρτημοριακό εύρος για ασύμμετρα δεδομένα.
    • Εξήγησε την επίδραση των ακραίων τιμών.
  2. 37Πίνακες διπλής εισόδου και σχετική συχνότηταΒρες από κοινού, περιθώριες και δεσμευμένες σχετικές συχνότητες σε πίνακες διπλής εισόδου.
    • Φτιάξε έναν πίνακα συχνοτήτων διπλής εισόδου.
    • Βρες σχετικές συχνότητες κατά γραμμή και κατά στήλη.
    • Περίγραψε πιθανές συσχετίσεις.
  3. 38Συσχέτιση και υπόλοιπαΠροσάρμοσε μια ευθεία στα δεδομένα, βρες τη συσχέτιση και διάβασε τα υπόλοιπα.
    • Βρες την ευθεία καλύτερης προσαρμογής με τεχνολογία.
    • Ερμήνευσε τον συντελεστή συσχέτισης r.
    • Χρησιμοποίησε ένα διάγραμμα υπολοίπων για να κρίνεις την προσαρμογή, και να ξέρεις ότι συσχέτιση δεν είναι αιτιότητα.

Επανάληψη, μικτή εξάσκηση και προκλήσεις

  1. 39Γραμμική και εκθετική επανάληψηΛύσε μικτές ασκήσεις της γραμμικής και εκθετικής επανάληψης με εξισώσεις, ανισώσεις, συστήματα και εκθετικά μοντέλα.
    • Λύσε εξισώσεις και ανισώσεις.
    • Γράψε και σχεδίασε γραμμικές συναρτήσεις και συστήματα.
    • Φτιάξε εκθετικά μοντέλα.
  2. 40Επανάληψη πολυωνύμων και δευτεροβάθμιωνΛύσε μικτές ασκήσεις με πολυώνυμα, δευτεροβάθμιες και δεδομένα.
    • Πολλαπλασίασε και παραγοντοποίησε πολυώνυμα.
    • Λύσε δευτεροβάθμιες με την καλύτερη μέθοδο.
    • Συνόψισε και μοντελοποίησε δεδομένα.
  3. 41Πρόκληση Άλγεβρας 1Ολοκλήρωσε μικτές ερωτήσεις της πρόκλησης Άλγεβρας 1 που καλύπτουν τις βασικές ενότητες.
    • Λύσε προβλήματα από κάθε ενότητα χωρίς βοήθεια.
    • Διάλεξε το σωστό μοντέλο για μια κατάσταση.
    • Βρες τα σημεία που θέλουν περισσότερη εξάσκηση.