Όλα τα μαθήματα

Σειρά μαθημάτων

Μαθηματικά Β΄ Γυμνασίου

Λύσε γραμμικές εξισώσεις και συστήματα, κατάλαβε τις συναρτήσεις, χρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα και εφάρμοσε μετασχηματισμούς.

Κάνε τα μαθήματα με τη σειρά, από τους πραγματικούς αριθμούς μέχρι να λύνεις προβλήματα μόνος σου. Στο τέλος, μπορείς να ξεχωρίζεις τους ρητούς από τους άρρητους αριθμούς, να εκτιμάς άρρητους αριθμούς και να χρησιμοποιείς κανόνες εκθετών και την επιστημονική σημειογραφία. Μπορείς να λύνεις γραμμικές εξισώσεις με μεταβλητές και στις δύο πλευρές και να ξέρεις πότε υπάρχει μία, καμία ή άπειρες λύσεις. Μπορείς να βρίσκεις την κλίση, να σχεδιάζεις y = mx + b και να ξεχωρίζεις τις γραμμικές από τις μη γραμμικές συναρτήσεις. Μπορείς να λύνεις συστήματα δύο εξισώσεων με γραφική παράσταση, με αντικατάσταση και με απαλοιφή. Μπορείς να μεταφέρεις, να ανακλάς, να περιστρέφεις και να κάνεις ομοιοθεσία σε σχήματα, να χρησιμοποιείς ιδιότητες γωνιών και το Πυθαγόρειο θεώρημα, να βρίσκεις τον όγκο κυλίνδρων, κώνων και σφαιρών, και να σχεδιάζεις ευθεία προσαρμογής σε διάγραμμα διασποράς.

Πώς να χρησιμοποιείς αυτά τα μαθήματα

  • Ξεκίνα από το μάθημα που λέει Κάνε αυτό. Προχώρα όταν μπορείς να κάνεις μόνος σου τη γραμμή κάτω από τον τίτλο.
  • Πρώτα παίξε τα Παιχνίδια. Μετά κάνε το Κουίζ. 8 από 10 σωστές για να περάσεις. Τα Φύλλα εργασίας είναι σε χαρτί. Οι απαντήσεις είναι κάτω.
  • Κάθε μάθημα στηρίζεται στο προηγούμενο. Αν ένα μάθημα είναι δύσκολο, γύρνα ένα πίσω.
  • Χρησιμοποίησε χαρτί μιλιμετρέ για την κλίση, τα συστήματα και τους μετασχηματισμούς, και ριζόχαρτο για να ελέγξεις περιστροφές και ανακλάσεις. Μια αριθμομηχανή βοηθά με τις τετραγωνικές ρίζες και την επιστημονική σημειογραφία. Έλεγξε κάθε λύση βάζοντάς την πάλι μέσα.

Κάθε μάθημα έχει παιχνίδια, κουίζ και φύλλα εργασίας.

0 από 44

Πραγματικοί αριθμοί

  1. 1Ρητοί και άρρητοι αριθμοίΞεχώρισε τους ρητούς αριθμούς από τους άρρητους αριθμούς.
    • Να ξέρεις ότι οι ρητοί αριθμοί γράφονται ως κλάσματα.
    • Να ξέρεις ότι οι √2 και π είναι άρρητοι.
    • Ταξινόμησε αριθμούς στο σύστημα των πραγματικών αριθμών.
  2. 2Περιοδικοί δεκαδικοί σε κλάσματαΆλλαξε έναν περιοδικό δεκαδικό σε κλάσμα.
    • Άλλαξε το 0.444… σε 4/9.
    • Άλλαξε το 0.272727… σε 27/99 = 3/11.
    • Εξήγησε τη μέθοδο με μια εξίσωση.
  3. 3Εκτίμησε άρρητους αριθμούςΕκτίμησε έναν άρρητο αριθμό και βάλ’ τον στην αριθμογραμμή.
    • Δείξε ότι ο √2 είναι ανάμεσα στο 1.4 και στο 1.5.
    • Βάλε τον √20 ανάμεσα στο 4 και στο 5.
    • Σύγκρινε άρρητους αριθμούς.
  4. 4Τετραγωνικές ρίζες και κυβικές ρίζεςΛύσε τετραγωνικές ρίζες και κυβικές ρίζες: x² = p και x³ = p.
    • Να ξέρεις τα τέλεια τετράγωνα ως το 225 και τους κύβους ως το 1,000.
    • Λύσε x² = 49 και βρες x = ±7.
    • Λύσε x³ = 64.

Εκθέτες και επιστημονική σημειογραφία

  1. 5Κανόνες εκθετώνΧρησιμοποίησε κανόνες εκθετών για να πολλαπλασιάζεις, να διαιρείς και να υψώνεις δυνάμεις με την ίδια βάση.
    • Χρησιμοποίησε a^m × a^n = a^(m+n).
    • Χρησιμοποίησε a^m ÷ a^n = a^(m−n).
    • Χρησιμοποίησε (a^m)^n = a^(mn).
  2. 6Μηδενικός και αρνητικοί εκθέτεςΥπολόγισε παραστάσεις με μηδενικό και αρνητικούς εκθέτες.
    • Εξήγησε γιατί a⁰ = 1.
    • Γράψε το 3⁻² ως 1/9.
    • Απλοποίησε 3² × 3⁻⁵ = 1/27.
  3. 7Επιστημονική σημειογραφίαΓράψε πολύ μεγάλους και πολύ μικρούς αριθμούς σε επιστημονική σημειογραφία.
    • Γράψε το 3,400,000 ως 3.4 × 10⁶.
    • Γράψε το 0.00072 ως 7.2 × 10⁻⁴.
    • Σύγκρινε αριθμούς σε επιστημονική σημειογραφία.
  4. 8Πράξεις με επιστημονική σημειογραφίαΠρόσθεσε, αφαίρεσε, πολλαπλασίασε και διαίρεσε σε επιστημονική σημειογραφία.
    • Πολλαπλασίασε (3 × 10⁴)(2 × 10⁵).
    • Διαίρεσε και ξαναγράψε την απάντηση σε επιστημονική σημειογραφία.
    • Διάλεξε λογικές μονάδες, όπως χιλιοστά ή χιλιόμετρα.

Γραμμικές εξισώσεις

  1. 9Μεταβλητές και στις δύο πλευρέςΛύσε γραμμικές εξισώσεις με μεταβλητές και στις δύο πλευρές.
    • Λύσε 5x + 3 = 2x + 18.
    • Πήγαινε τους όρους με τη μεταβλητή στη μία πλευρά.
    • Έλεγξε αντικαθιστώντας την απάντηση.
  2. 10Εξισώσεις πολλών βημάτωνΛύσε εξισώσεις πολλών βημάτων που χρειάζονται την επιμεριστική ιδιότητα και όμοιους όρους.
    • Λύσε 3(x − 4) + 2 = 2x − 5.
    • Λύσε εξισώσεις με κλάσματα και δεκαδικούς.
    • Γράψε και λύσε μια εξίσωση για ένα πρόβλημα.
  3. 11Μία, καμία ή άπειρες λύσειςΠες αν μια εξίσωση έχει μία, καμία ή άπειρες λύσεις.
    • Βρες x = a για μία λύση.
    • Βρες a = b με a ≠ b για καμία λύση.
    • Βρες a = a για άπειρες λύσεις.

Κλίση και γραμμικές σχέσεις

  1. 12Σύγκρινε αναλογικές σχέσειςΣύγκρινε δύο αναλογικές σχέσεις που φαίνονται με διαφορετικούς τρόπους.
    • Διάβασε τον μοναδιαίο ρυθμό από ένα γράφημα ως την κλίση.
    • Σύγκρινε έναν πίνακα με μια εξίσωση.
    • Αποφάσισε ποια είναι πιο γρήγορη ή πιο φτηνή.
  2. 13ΚλίσηΒρες την κλίση μιας ευθείας από γράφημα ή από δύο σημεία.
    • Χρησιμοποίησε άνοδο προς βήμα.
    • Χρησιμοποίησε όμοια τρίγωνα για να δείξεις ότι η κλίση είναι η ίδια παντού στην ευθεία.
    • Να ξέρεις θετική, αρνητική, μηδενική και μη ορισμένη κλίση.
  3. 14Μορφή κλίσης-τομήςΓράψε την εξίσωση μιας ευθείας σε μορφή κλίσης-τομής: y = mx + b.
    • Βρες τα m και b από ένα γράφημα.
    • Γράψε την εξίσωση από μια κλίση και ένα σημείο.
    • Γράψε την εξίσωση από δύο σημεία.
  4. 15Σχεδίασε γραμμικές εξισώσειςΣχεδίασε μια ευθεία από την εξίσωσή της.
    • Ξεκίνα από το b και μετά χρησιμοποίησε την κλίση.
    • Σχεδίασε από έναν πίνακα τιμών.
    • Σχεδίασε οριζόντιες και κατακόρυφες ευθείες.

Συναρτήσεις

  1. 16Τι είναι μια συνάρτησηΠες αν μια σχέση είναι συνάρτηση.
    • Να ξέρεις ότι κάθε είσοδος έχει ακριβώς μία έξοδο.
    • Έλεγξε πίνακες, αντιστοιχίσεις και γραφήματα.
    • Χρησιμοποίησε το κριτήριο της κατακόρυφης ευθείας.
  2. 17Σύγκρινε συναρτήσειςΣύγκρινε δύο συναρτήσεις που φαίνονται με διαφορετικούς τρόπους.
    • Σύγκρινε ρυθμούς μεταβολής.
    • Σύγκρινε τις αρχικές τιμές.
    • Σύγκρινε έναν πίνακα με μια εξίσωση ή ένα γράφημα.
  3. 18Γραμμικές και μη γραμμικές συναρτήσειςΞεχώρισε τις γραμμικές συναρτήσεις από τις μη γραμμικές.
    • Ψάξε σταθερό ρυθμό μεταβολής σε έναν πίνακα.
    • Να ξέρεις ότι η y = x² δεν είναι γραμμική.
    • Ταίριαξε εξισώσεις με γραφήματα.
  4. 19Μοντελοποίησε με γραμμικές συναρτήσειςΜοντελοποίησε μια πραγματική κατάσταση με γραμμική συνάρτηση.
    • Βρες τον ρυθμό μεταβολής και την αρχική τιμή.
    • Γράψε το κόστος ενός προγράμματος κινητού ως C = 10 + 0.5m.
    • Εξήγησε τι σημαίνουν η κλίση και η τομή.
  5. 20Περιέγραψε γραφήματαΠεριέγραψε πώς ένα γράφημα αυξάνεται, μειώνεται ή μένει το ίδιο.
    • Περιέγραψε το γράφημα μιας διαδρομής.
    • Σκίτσαρε ένα γράφημα από μια ιστορία.
    • Βρες πού είναι γραμμικό και πού όχι.

Συστήματα εξισώσεων

  1. 21Λύσε συστήματα με γραφική παράστασηΛύσε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με γραφική παράσταση.
    • Σχεδίασε και τις δύο ευθείες.
    • Βρες το σημείο όπου τέμνονται.
    • Να ξέρεις ότι οι παράλληλες ευθείες δεν έχουν λύση και ότι η ίδια ευθεία έχει άπειρες.
  2. 22Λύσε συστήματα με αντικατάστασηΛύσε ένα σύστημα με αντικατάσταση.
    • Λύσε μία εξίσωση ως προς μία μεταβλητή.
    • Αντικατάστησε στην άλλη εξίσωση.
    • Έλεγξε τη λύση και στις δύο εξισώσεις.
  3. 23Λύσε συστήματα με απαλοιφήΛύσε ένα σύστημα με απαλοιφή, προσθέτοντας ή αφαιρώντας τις εξισώσεις.
    • Πρόσθεσε εξισώσεις για να φύγει μια μεταβλητή.
    • Πολλαπλασίασε πρώτα όταν χρειάζεται.
    • Διάλεξε την καλύτερη μέθοδο για ένα σύστημα.
  4. 24Προβλήματα με συστήματαΓράψε και λύσε ένα σύστημα για ένα πρόβλημα.
    • Όρισε δύο μεταβλητές.
    • Γράψε δύο εξισώσεις από την ιστορία.
    • Εξήγησε τη λύση στην ιστορία.

Μετασχηματισμοί

  1. 25ΜεταφορέςΜετέφερε ένα σχήμα και περιέγραψε την κίνηση με συντεταγμένες.
    • Μετέφερε ένα σχήμα σε πλέγμα.
    • Γράψε τον κανόνα (x, y) → (x + 3, y − 2).
    • Να ξέρεις ότι τα μήκη και οι γωνίες μένουν τα ίδια.
  2. 26ΑνακλάσειςΑνάκλασε ένα σχήμα ως προς έναν άξονα.
    • Ανάκλαση ως προς τον άξονα x: (x, y) → (x, −y).
    • Ανάκλαση ως προς τον άξονα y: (x, y) → (−x, y).
    • Βρες τον άξονα ανάκλασης.
  3. 27ΠεριστροφέςΠερίστρεψε ένα σχήμα κατά 90°, 180° ή 270° γύρω από την αρχή.
    • Χρησιμοποίησε ριζόχαρτο για να περιστρέψεις.
    • Χρησιμοποίησε (x, y) → (−y, x) για 90° αντίθετα από τους δείκτες.
    • Περιέγραψε μια περιστροφή με κέντρο, γωνία και φορά.
  4. 28ΟμοιοθεσίεςΚάνε ομοιοθεσία για να μεγαλώσεις ή να μικρύνεις ένα σχήμα με συντελεστή κλίμακας.
    • Χρησιμοποίησε (x, y) → (kx, ky).
    • Να ξέρεις ότι οι γωνίες μένουν ίδιες και τα μήκη αλλάζουν κλίμακα.
    • Βρες τον συντελεστή κλίμακας από δύο σχήματα.
  5. 29Ισότητα και ομοιότηταΧρησιμοποίησε μετασχηματισμούς για να δείξεις ότι σχήματα είναι ίσα ή όμοια.
    • Να ξέρεις ότι τα ίσα σχήματα ταιριάζουν με στερεές κινήσεις.
    • Να ξέρεις ότι τα όμοια σχήματα χρειάζονται και ομοιοθεσία.
    • Περιέγραψε μια σειρά κινήσεων που πάει ένα σχήμα στο άλλο.

Γωνίες και το Πυθαγόρειο θεώρημα

  1. 30Γωνίες τριγώνωνΧρησιμοποίησε το άθροισμα γωνιών και τις εξωτερικές γωνίες ενός τριγώνου.
    • Δείξε ότι οι γωνίες ενός τριγώνου κάνουν 180°.
    • Να ξέρεις ότι μια εξωτερική γωνία ισούται με τις δύο μακρινές εσωτερικές.
    • Βρες άγνωστες γωνίες με εξισώσεις.
  2. 31Παράλληλες ευθείες και τέμνουσεςΒρες γωνίες όταν μια τέμνουσα κόβει παράλληλες ευθείες.
    • Ονόμασε αντίστοιχες, εντός εναλλάξ και εκτός εναλλάξ γωνίες.
    • Να ξέρεις ποια ζεύγη είναι ίσα και ποια κάνουν 180°.
    • Βρες και τις οκτώ γωνίες από μία.
  3. 32Ομοιότητα γωνία-γωνίαΔείξε ότι τρίγωνα είναι όμοια με ομοιότητα γωνία-γωνία, με δύο γωνίες.
    • Να ξέρεις ότι δύο ίδιες γωνίες κάνουν τα τρίγωνα όμοια.
    • Βρες μια πλευρά που λείπει με αναλογία.
    • Χρησιμοποίησε σκιές για να βρεις το ύψος ενός δέντρου.
  4. 33Το Πυθαγόρειο θεώρημαΧρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα, a² + b² = c², για να βρεις μια πλευρά που λείπει σε ορθογώνιο τρίγωνο.
    • Εξήγησε μια απόδειξη με τετράγωνα.
    • Βρες την υποτείνουσα.
    • Βρες μια κάθετη πλευρά που λείπει.
  5. 34Εφαρμογές του Πυθαγόρειου θεωρήματοςΧρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα σε πραγματικά προβλήματα και σε 3D.
    • Βρες το μήκος μιας σκάλας σε έναν τοίχο.
    • Βρες τη διαγώνιο ενός κουτιού.
    • Χρησιμοποίησε το αντίστροφο για να ελέγξεις αν είναι ορθογώνιο τρίγωνο.
  6. 35Απόσταση ανάμεσα σε δύο σημείαΒρες την απόσταση ανάμεσα σε δύο σημεία στο επίπεδο.
    • Σχεδίασε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ανάμεσα στα σημεία.
    • Χρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα.
    • Βρες την περίμετρο ενός σχήματος σε πλέγμα.

Όγκος

  1. 36Όγκος κυλίνδρωνΒρες τον όγκο ενός κυλίνδρου.
    • Χρησιμοποίησε V = πr²h.
    • Βρες ένα ύψος ή μια ακτίνα που λείπει.
    • Λύσε προβλήματα της ζωής.
  2. 37Όγκος κώνωνΒρες τον όγκο ενός κώνου.
    • Δες ότι ένας κώνος χωράει το 1/3 ενός κυλίνδρου.
    • Χρησιμοποίησε V = 1/3 πr²h.
    • Λύσε προβλήματα της ζωής.
  3. 38Όγκος σφαιρώνΒρες τον όγκο μιας σφαίρας.
    • Χρησιμοποίησε V = 4/3 πr³.
    • Βρες τον όγκο ενός ημισφαιρίου.
    • Σύγκρινε μια σφαίρα, έναν κώνο και έναν κύλινδρο ίδιου μεγέθους.

Δεδομένα δύο μεταβλητών

  1. 39Διαγράμματα διασποράςΦτιάξε ένα διάγραμμα διασποράς και περιέγραψε το μοτίβο.
    • Τοποθέτησε ζεύγη δεδομένων.
    • Περιέγραψε θετική, αρνητική ή καμία συσχέτιση.
    • Βρες συστάδες και ακραίες τιμές.
  2. 40Ευθείες προσαρμογήςΣχεδίασε μια ευθεία προσαρμογής και χρησιμοποίησε την εξίσωσή της για πρόβλεψη.
    • Σχεδίασε μια ευθεία κοντά στα περισσότερα σημεία.
    • Γράψε την εξίσωσή της.
    • Εξήγησε τι σημαίνουν η κλίση και η τομή.
  3. 41Πίνακες διπλής εισόδουΦτιάξε και διάβασε έναν πίνακα διπλής εισόδου.
    • Οργάνωσε δεδομένα έρευνας σε γραμμές και στήλες.
    • Βρες σχετικές συχνότητες.
    • Αποφάσισε αν δύο μεταβλητές σχετίζονται.

Επανάληψη, μικτή εξάσκηση και προκλήσεις

  1. 42Επανάληψη εξισώσεων και συναρτήσεωνΛύσε μικτά προβλήματα εξισώσεων και συναρτήσεων, με εκθέτες και συστήματα.
    • Χρησιμοποίησε κανόνες εκθετών και την επιστημονική σημειογραφία.
    • Λύσε γραμμικές εξισώσεις και συστήματα.
    • Γράψε και σύγκρινε γραμμικές συναρτήσεις.
  2. 43Επανάληψη γεωμετρίας και δεδομένωνΛύσε μικτά προβλήματα γεωμετρίας και δεδομένων: μετασχηματισμοί, γωνίες, Πυθαγόρειο θεώρημα και όγκος.
    • Περιέγραψε μετασχηματισμούς.
    • Χρησιμοποίησε ιδιότητες γωνιών και το Πυθαγόρειο θεώρημα.
    • Βρες όγκο και προσάρμοσε μια ευθεία στα δεδομένα.
  3. 44Πρόκληση μαθηματικών Β΄ ΓυμνασίουΟλοκλήρωσε την πρόκληση μαθηματικών Β΄ Γυμνασίου με μικτές ερωτήσεις από τις μεγάλες ενότητες.
    • Διάλεξε στρατηγική χωρίς να σου την πουν.
    • Λύσε προβλήματα πολλών βημάτων.
    • Βρες τα μέρη που θέλουν περισσότερη εξάσκηση.