Σειρά μαθημάτων
Μαθηματικά 12ης τάξης: Προαπειροστικός λογισμός
Ανάλυσε συναρτήσεις, μάθε καλά την τριγωνομετρία, δούλεψε με διανύσματα, πολικές συντεταγμένες, κωνικές τομές και πίνακες, και ρίξε μια πρώτη ματιά στα όρια.
Κάνε τα μαθήματα με τη σειρά, από την ανάλυση συναρτήσεων ως τη λύση προβλημάτων μόνος σου. Στο τέλος, μπορείς να αναλύεις και να συνδυάζεις συναρτήσεις, να λύνεις πολυωνυμικές και ρητές ανισώσεις και να μοντελοποιείς με εκθετικές, λογαριθμικές και λογιστικές συναρτήσεις. Μπορείς να σχεδιάζεις και τις έξι τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις αντίστροφές τους, να αποδεικνύεις τριγωνομετρικές ταυτότητες και να λύνεις τριγωνομετρικές εξισώσεις. Μπορείς να λύνεις οποιοδήποτε τρίγωνο και να χρησιμοποιείς διανύσματα για δυνάμεις και κίνηση. Μπορείς να σχεδιάζεις σε πολικές συντεταγμένες, να γράφεις μιγαδικούς αριθμούς σε πολική μορφή και να χρησιμοποιείς το θεώρημα του De Moivre. Μπορείς να σχεδιάζεις παραμετρικές εξισώσεις και κωνικές τομές και να λύνεις συστήματα με πίνακες. Μπορείς να αποδεικνύεις προτάσεις με επαγωγή και να βρίσκεις όρια, την πρώτη ιδέα του απειροστικού λογισμού.
Πώς να χρησιμοποιείς αυτά τα μαθήματα
- Ξεκίνα από το μάθημα που λέει Κάνε αυτό. Προχώρα όταν μπορείς να κάνεις μόνος σου τη γραμμή κάτω από τον τίτλο.
- Πρώτα παίξε τα Παιχνίδια. Μετά κάνε το Κουίζ. 8 από 10 σωστές για να περάσεις. Τα Φύλλα εργασίας είναι σε χαρτί. Οι απαντήσεις είναι κάτω.
- Κάθε μάθημα στηρίζεται στο προηγούμενο. Αν ένα μάθημα είναι δύσκολο, γύρνα ένα πίσω.
- Αυτό το μάθημα σε ετοιμάζει για τον απειροστικό λογισμό. Μάθε τον μοναδιαίο κύκλο απέξω. Κράτα λίστα με τις ταυτότητες καθώς τις μαθαίνεις. Σχεδίασε κάθε γραφική παράσταση με το χέρι και μετά έλεγξέ την με μια εφαρμογή γραφημάτων.
Κάθε μάθημα έχει παιχνίδια, κουίζ και φύλλα εργασίας.
0 από 42
Οι συναρτήσεις ξανά
- 1Ανάλυσε τη συμπεριφορά συναρτήσεωνΑνάλυσε πού μια συνάρτηση αυξάνεται, μειώνεται και φτάνει τα ακρότατά της.
- Βρες τα διαστήματα αύξησης και μείωσης.
- Βρες τα σχετικά και τα απόλυτα ακρότατα.
- Βρες τον μέσο ρυθμό μεταβολής σε ένα διάστημα.
- 2Συνδύασε και αποσύνθεσε συναρτήσειςΣυνδύασε παλιές συναρτήσεις σε καινούριες και αποσύνθεσε μια συνάρτηση σε σύνθεση.
- Σύνθεσε συναρτήσεις και βρες το πεδίο ορισμού.
- Γράψε την h(x) = √(x² + 1) ως f(g(x)).
- Μοντελοποίησε μια κατάσταση με σύνθετη συνάρτηση.
- 3Αντίστροφες και περιορισμοί πεδίου ορισμούΠεριόρισε το πεδίο ορισμού ώστε μια συνάρτηση να έχει αντίστροφη.
- Χρησιμοποίησε το κριτήριο της οριζόντιας ευθείας.
- Περιόρισε το πεδίο ορισμού της x² για να βρεις την αντίστροφή της.
- Διάβασε τιμές της αντίστροφης από πίνακα ή γραφική παράσταση.
Πολυωνυμικές και ρητές συναρτήσεις
- 4Συμπεριφορά πολυωνύμων και ανισώσειςΛύσε πολυωνυμικές ανισώσεις με ρίζες και πίνακες προσήμων.
- Βρες όλες τις ρίζες και τις πολλαπλότητές τους.
- Χρησιμοποίησε πίνακα προσήμων για να λύσεις p(x) ≥ 0.
- Μοντελοποίησε όγκο και κέρδος με πολυώνυμα.
- 5Ρητές συναρτήσεις και πλάγιες ασύμπτωτεςΣχεδίασε ρητές συναρτήσεις, μαζί με πλάγιες ασύμπτωτες.
- Βρες κατακόρυφες, οριζόντιες και πλάγιες ασύμπτωτες.
- Βρες οπές και σημεία τομής.
- Περιέγραψε τη συμπεριφορά στα άκρα.
- 6Ρητές ανισώσειςΛύσε ρητές ανισώσεις.
- Βρες τις ρίζες και τα σημεία όπου δεν ορίζεται.
- Χρησιμοποίησε πίνακα προσήμων.
- Γράψε τη λύση με σημειογραφία διαστημάτων.
Εκθετικά, λογαριθμικά και λογιστικά μοντέλα
- 7Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσειςΣχεδίασε, λύσε και μοντελοποίησε με εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις.
- Σχεδίασε μετασχηματισμούς εκθετικών και λογαριθμικών συναρτήσεων.
- Λύσε εξισώσεις με λογαρίθμους.
- Μοντελοποίησε αύξηση με ανατοκισμό και συνεχή αύξηση.
- 8Λογιστική αύξησηΜοντελοποίησε αύξηση που σταθεροποιείται με λογιστική συνάρτηση.
- Διάβασε τη φέρουσα ικανότητα.
- Βρες το σημείο της πιο γρήγορης αύξησης.
- Σύγκρινε τη λογιστική και την εκθετική αύξηση.
- 9Ημιλογαριθμικά διαγράμματα και ευθυγράμμιση δεδομένωνΧρησιμοποίησε λογαρίθμους και ημιλογαριθμικά διαγράμματα για να ευθυγραμμίσεις εκθετικά δεδομένα.
- Σχεδίασε το log y ως προς x.
- Ξέρε ότι τα εκθετικά δεδομένα φαίνονται γραμμικά σε ημιλογαριθμικό διάγραμμα.
- Βρες ένα εκθετικό μοντέλο από την ευθεία.
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
- 10Ακτίνια και ο μοναδιαίος κύκλοςΒρες και τις έξι τριγωνομετρικές τιμές οποιασδήποτε γωνίας σε ακτίνια στον μοναδιαίο κύκλο.
- Μετάτρεψε μεταξύ μοιρών και ακτινίων.
- Βρες ακριβείς τιμές σε ειδικές γωνίες.
- Βρες μήκος τόξου και γωνιακή ταχύτητα.
- 11Σχεδίασε και τις έξι τριγωνομετρικές συναρτήσειςΣχεδίασε και τις έξι τριγωνομετρικές συναρτήσεις: ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και τις αντίστροφές τους ως προς τον πολλαπλασιασμό.
- Σχεδίασε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη με ασύμπτωτες.
- Σχεδίασε τέμνουσα και συντέμνουσα από συνημίτονο και ημίτονο.
- Βρες περίοδο, πλάτος και μετατοπίσεις.
- 12Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσειςΥπολόγισε και σχεδίασε τις αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις: ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη.
- Ξέρε το περιορισμένο πεδίο ορισμού κάθε συνάρτησης.
- Βρες ακριβείς τιμές όπως arcsin(1/2).
- Υπολόγισε συνθέσεις όπως cos(arctan x).
- 13Ημιτονοειδή μοντέλαΦτιάξε ημιτονοειδή μοντέλα από δεδομένα και χρησιμοποίησέ τα για πρόβλεψη.
- Μοντελοποίησε ώρες φωτός και ηχητικά κύματα.
- Βρες τη συχνότητα ενός κύματος.
- Χρησιμοποίησε το μοντέλο για να βρεις χρόνους.
Τριγωνομετρικές ταυτότητες και εξισώσεις
- 14Θεμελιώδεις ταυτότητεςΧρησιμοποίησε τις θεμελιώδεις ταυτότητες: αντίστροφες, πηλίκα, πυθαγόρειες και άρτιες-περιττές.
- Χρησιμοποίησε και τις τρεις πυθαγόρειες ταυτότητες.
- Χρησιμοποίησε ταυτότητες άρτιας-περιττής και συνάρτησης συμπληρώματος.
- Απλοποίησε τριγωνομετρικές παραστάσεις.
- 15Επαλήθευσε ταυτότητεςΕπαλήθευσε μια τριγωνομετρική ταυτότητα βήμα βήμα.
- Δούλεψε μόνο στη μία πλευρά.
- Ξαναγράψε με ημίτονα και συνημίτονα.
- Παραγόντισε και συνδύασε κλάσματα.
- 16Τύποι αθροίσματος και διαφοράςΧρησιμοποίησε τους τύπους αθροίσματος και διαφοράς για ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη.
- Βρες την ακριβή τιμή του sin 75°.
- Απόδειξε τους τύπους.
- Απλοποίησε παραστάσεις με αυτούς.
- 17Τύποι διπλής γωνίας και μισής γωνίαςΧρησιμοποίησε τους τύπους διπλής γωνίας και μισής γωνίας.
- Χρησιμοποίησε sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
- Χρησιμοποίησε και τις τρεις μορφές του cos 2θ.
- Βρες ακριβείς τιμές μισής γωνίας.
- 18Λύσε τριγωνομετρικές εξισώσειςΛύσε τριγωνομετρικές εξισώσεις σε ένα διάστημα και στη γενική περίπτωση.
- Βρες όλες τις λύσεις στο [0, 2π).
- Γράψε τη γενική λύση.
- Λύσε με παραγοντοποίηση και με ταυτότητες.
Τρίγωνα και διανύσματα
- 19Ο νόμος των ημιτόνων και η αμφίβολη περίπτωσηΛύσε τρίγωνα με τον νόμο των ημιτόνων, μαζί με την αμφίβολη περίπτωση SSA.
- Χρησιμοποίησε τον νόμο των ημιτόνων.
- Αποφάσισε αν το SSA δίνει 0, 1 ή 2 τρίγωνα.
- Λύσε προβλήματα ναυσιπλοΐας.
- 20Ο νόμος των συνημιτόνων και ο τύπος του ΉρωναΛύσε τρίγωνα με τον νόμο των συνημιτόνων και βρες το εμβαδόν με τον τύπο του Ήρωνα.
- Χρησιμοποίησε τον νόμο των συνημιτόνων για SAS και SSS.
- Χρησιμοποίησε τον τύπο του Ήρωνα.
- Διάλεξε τον σωστό νόμο για ένα τρίγωνο.
- 21ΔιανύσματαΠεριέγραψε διανύσματα με μέτρο και κατεύθυνση και σε μορφή συνιστωσών.
- Γράψε ένα διάνυσμα σε μορφή συνιστωσών.
- Βρες το μέτρο και τη γωνία κατεύθυνσης.
- Βρες ένα μοναδιαίο διάνυσμα.
- 22Πράξεις διανυσμάτων και εσωτερικό γινόμενοΠρόσθεσε, κλιμάκωσε και πολλαπλασίασε διανύσματα με το εσωτερικό γινόμενο.
- Πρόσθεσε διανύσματα με συνιστώσες και με σχήματα.
- Βρες το εσωτερικό γινόμενο και τη γωνία ανάμεσα σε διανύσματα.
- Βρες την προβολή ενός διανύσματος σε ένα άλλο.
- 23Εφαρμογές διανυσμάτωνΧρησιμοποίησε εφαρμογές διανυσμάτων για προβλήματα δύναμης, ταχύτητας και έργου.
- Βρες τη συνισταμένη δύναμη.
- Βρες την ταχύτητα αεροπλάνου ως προς το έδαφος με άνεμο.
- Βρες το έργο με το εσωτερικό γινόμενο.
Πολικές συντεταγμένες και μιγαδικοί αριθμοί
- 24Πολικές συντεταγμένεςΤοποθέτησε σημεία σε πολικές συντεταγμένες και μετάτρεψε μεταξύ πολικής και ορθογώνιας μορφής.
- Τοποθέτησε το (r, θ).
- Μετάτρεψε σημεία μεταξύ πολικής και ορθογώνιας μορφής.
- Μετάτρεψε εξισώσεις μεταξύ των μορφών.
- 25Πολικές γραφικές παραστάσειςΣχεδίασε πολικές γραφικές παραστάσεις κύκλων, ροδοειδών, λιμασόν και καρδιοειδών.
- Σχεδίασε r = a cos θ και r = a sin θ.
- Σχεδίασε ροδοειδή r = a cos(nθ).
- Χρησιμοποίησε τη συμμετρία για να σχεδιάζεις πιο γρήγορα.
- 26Μιγαδικοί αριθμοί σε πολική μορφήΓράψε μιγαδικούς αριθμούς σε πολική μορφή και πολλαπλασίασέ τους.
- Τοποθέτησε μιγαδικούς αριθμούς και βρες το μέτρο τους.
- Γράψε z = r(cos θ + i sin θ).
- Πολλαπλασίασε και διαίρεσε σε πολική μορφή.
- 27Θεώρημα του De MoivreΧρησιμοποίησε το θεώρημα του De Moivre για να βρεις δυνάμεις και ρίζες μιγαδικών αριθμών.
- Χρησιμοποίησε το θεώρημα του De Moivre για δυνάμεις.
- Βρες τις νιοστές ρίζες ενός μιγαδικού αριθμού.
- Τοποθέτησε τις ρίζες της μονάδας.
Παραμετρικές εξισώσεις και κωνικές τομές
- 28Παραμετρικές εξισώσειςΣχεδίασε παραμετρικές εξισώσεις και μοντελοποίησε κίνηση με αυτές.
- Σχεδίασε μια καμπύλη από x(t) και y(t).
- Απάλειψε την παράμετρο.
- Μοντελοποίησε κίνηση βλήματος.
- 29ΠαραβολέςΣχεδίασε παραβολές από την εστία και τη διευθετούσα τους.
- Χρησιμοποίησε τον ορισμό εστίας και διευθετούσας.
- Γράψε την εξίσωση από την εστία και την κορυφή.
- Εξήγησε γιατί τα δορυφορικά πιάτα είναι παραβολές.
- 30ΕλλείψειςΣχεδίασε ελλείψεις και βρες τις εστίες τους.
- Χρησιμοποίησε (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
- Βρες τις εστίες με c² = a² − b².
- Μοντελοποίησε τροχιές πλανητών.
- 31ΥπερβολέςΣχεδίασε υπερβολές με τις ασύμπτωτες και τις εστίες τους.
- Χρησιμοποίησε (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
- Βρες τις ασύμπτωτες και τις εστίες.
- Κατάταξε μια κωνική τομή από τη γενική της εξίσωση.
Πίνακες και συστήματα
- 32Πράξεις πινάκωνΚάνε πράξεις πινάκων: πρόσθεσε, κλιμάκωσε και πολλαπλασίασε.
- Ξέρε τις διαστάσεις που χρειάζονται για πολλαπλασιασμό.
- Πολλαπλασίασε δύο πίνακες.
- Ξέρε ότι ο πολλαπλασιασμός πινάκων δεν είναι αντιμεταθετικός.
- 33Ορίζουσες και αντίστροφοι πίνακεςΒρες την ορίζουσα και τον αντίστροφο πίνακα.
- Βρες ορίζουσα 2×2 και 3×3.
- Βρες αντίστροφο 2×2.
- Ξέρε ότι πίνακας με ορίζουσα 0 δεν έχει αντίστροφο.
- 34Λύσε συστήματα με πίνακεςΛύσε συστήματα εξισώσεων με πίνακες.
- Γράψε ένα σύστημα ως AX = B.
- Λύσε με αντίστροφο πίνακα.
- Χρησιμοποίησε αναγωγή κατά γραμμές σε επαυξημένο πίνακα.
- 35Οι πίνακες ως μετασχηματισμοίΧρησιμοποίησε πίνακες ως μετασχηματισμούς για να περιστρέψεις, να ανακλάσεις και να κλιμακώσεις σχήματα.
- Γράψε τον πίνακα μιας περιστροφής.
- Σύνθεσε μετασχηματισμούς με πολλαπλασιασμό.
- Ξέρε ότι η ορίζουσα δίνει τον συντελεστή κλίμακας του εμβαδού.
Επαγωγή και όρια
- 36Μαθηματική επαγωγήΑπόδειξε μια πρόταση για κάθε φυσικό αριθμό με μαθηματική επαγωγή.
- Απόδειξε τη βάση.
- Απόδειξε το επαγωγικό βήμα.
- Απόδειξε έναν τύπο αθροίσματος.
- 37Εισαγωγή στα όριαΒρες όρια από γραφικές παραστάσεις, πίνακες και άλγεβρα.
- Διάβασε πλευρικά όρια από μια γραφική παράσταση.
- Βρες όρια με αντικατάσταση και παραγοντοποίηση.
- Ξέρε πότε ένα όριο δεν υπάρχει.
- 38Όρια στο άπειρο και συνέχειαΒρες όρια στο άπειρο και αποφάσισε πού μια συνάρτηση είναι συνεχής.
- Σύνδεσε τα όρια στο άπειρο με τις οριζόντιες ασύμπτωτες.
- Βρες το όριο μιας άπειρης ακολουθίας.
- Ονόμασε αιρόμενες, αλματικές και άπειρες ασυνέχειες.
- 39Ρυθμοί μεταβολής και εφαπτόμενεςΒρες τον στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής με ένα όριο και την κλίση της εφαπτομένης.
- Βρες την κλίση μιας τέμνουσας.
- Χρησιμοποίησε ένα όριο για να βρεις την κλίση μιας εφαπτομένης.
- Σύνδεσέ την με τη στιγμιαία ταχύτητα.
Επανάληψη, μικτή εξάσκηση και προκλήσεις
- 40Επανάληψη συναρτήσεων και τριγωνομετρίαςΛύσε μικτά προβλήματα συναρτήσεων και τριγωνομετρίας, με ταυτότητες και τριγωνομετρικές εξισώσεις.
- Ανάλυσε οποιαδήποτε οικογένεια συναρτήσεων.
- Απόδειξε ταυτότητες και λύσε τριγωνομετρικές εξισώσεις.
- Λύσε τρίγωνα.
- 41Επανάληψη διανυσμάτων, πολικών, κωνικών και ορίωνΛύσε μικτά προβλήματα με διανύσματα, πολικές μορφές, κωνικές τομές, πίνακες και όρια.
- Χρησιμοποίησε διανύσματα και πολικές συντεταγμένες.
- Σχεδίασε κωνικές τομές και λύσε συστήματα με πίνακες.
- Βρες όρια.
- 42Πρόκληση προαπειροστικού λογισμούΟλοκλήρωσε την πρόκληση προαπειροστικού λογισμού με μικτές ερωτήσεις από τις κύριες ενότητες.
- Λύσε προβλήματα από κάθε ενότητα χωρίς υποδείξεις.
- Εξήγησε κάθε βήμα.
- Βρες τα σημεία που θέλουν περισσότερη εξάσκηση.