Όλα τα μαθήματα

Σειρά μαθημάτων

Μαθηματικά Β΄ Λυκείου: Άλγεβρα 2

Δούλεψε με μιγαδικούς αριθμούς και με πολυωνυμικές, ρητές, ριζικές, εκθετικές, λογαριθμικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Χρησιμοποίησε πιθανότητες και στατιστική για να αποφασίζεις.

Κάνε τα μαθήματα με τη σειρά, από τις βασικές συναρτήσεις και τους μετασχηματισμούς ως τη λύση προβλημάτων μόνος σου. Στο τέλος, μπορείς να κάνεις μετασχηματισμούς, σύνθεση και αντίστροφη συνάρτηση και να λύνεις δευτεροβάθμιες με μιγαδικές λύσεις. Μπορείς να σχεδιάζεις πολυωνυμικές συναρτήσεις, να διαιρείς πολυώνυμα και να βρίσκεις όλα τα μηδενικά τους. Μπορείς να απλοποιείς ρητές και ριζικές παραστάσεις, να σχεδιάζεις τις συναρτήσεις τους και να λύνεις τις εξισώσεις τους. Μπορείς να χρησιμοποιείς λογάριθμους για να λύνεις εκθετικές εξισώσεις και να φτιάχνεις εκθετικά και λογαριθμικά μοντέλα αύξησης. Μπορείς να βρίσκεις αθροίσματα αριθμητικών και γεωμετρικών σειρών. Μπορείς να χρησιμοποιείς τον μοναδιαίο κύκλο για να σχεδιάζεις και να μοντελοποιείς με ημίτονο και συνημίτονο. Μπορείς να βρίσκεις δεσμευμένες πιθανότητες, να χρησιμοποιείς την κανονική κατανομή και να κρίνεις συμπεράσματα από έρευνες και πειράματα.

Πώς να χρησιμοποιείς αυτά τα μαθήματα

  • Ξεκίνα από το μάθημα που λέει Κάνε αυτό. Προχώρα όταν μπορείς να κάνεις μόνος σου τη γραμμή κάτω από τον τίτλο.
  • Πρώτα παίξε τα Παιχνίδια. Μετά κάνε το Κουίζ. 8 από 10 σωστές για να περάσεις. Τα Φύλλα εργασίας είναι σε χαρτί. Οι απαντήσεις είναι κάτω.
  • Κάθε μάθημα στηρίζεται στο προηγούμενο. Αν ένα μάθημα είναι δύσκολο, πήγαινε ένα πίσω.
  • Για κάθε νέα οικογένεια συναρτήσεων, μάθε πρώτα τη βασική γραφική παράσταση και μετά τους μετασχηματισμούς της. Σκίτσαρε με το χέρι και μετά έλεγξε με μια εφαρμογή γραφικών. Έλεγξε κάθε λύση στην αρχική εξίσωση, γιατί κάποια βήματα προσθέτουν πλασματικές λύσεις.

Κάθε μάθημα έχει παιχνίδια, κουίζ και φύλλα εργασίας.

0 από 40

Συναρτήσεις και μετασχηματισμοί

  1. 1Βασικές συναρτήσεις και μετασχηματισμοίΣχεδίασε τον μετασχηματισμό y = a·f(b(x − h)) + k από μια βασική συνάρτηση.
    • Αναγνώρισε γραμμικές, δευτεροβάθμιες, απόλυτης τιμής και κυβικές βασικές γραφικές παραστάσεις.
    • Περιέγραψε μετατοπίσεις, διατάσεις και ανακλάσεις.
    • Ξεχώρισε άρτιες και περιττές συναρτήσεις.
  2. 2Πράξεις συναρτήσεων και σύνθεσηΠρόσθεσε, αφαίρεσε, πολλαπλασίασε, διαίρεσε συναρτήσεις και κάνε τη σύνθεσή τους.
    • Βρες (f + g)(x) και (fg)(x).
    • Βρες f(g(x)) και g(f(x)).
    • Βρες το πεδίο ορισμού μιας συνδυασμένης συνάρτησης.
  3. 3Αντίστροφες συναρτήσειςΒρες και σχεδίασε την αντίστροφη μιας συνάρτησης.
    • Άλλαξε θέση σε x και y και λύσε ως προς y.
    • Ξέρε ότι η αντίστροφη είναι ανάκλαση ως προς y = x.
    • Έλεγξε τις αντίστροφες με σύνθεση και περιόρισε τα πεδία ορισμού.

Δευτεροβάθμιες και μιγαδικοί αριθμοί

  1. 4Μιγαδικοί αριθμοίΠρόσθεσε, αφαίρεσε, πολλαπλασίασε και διαίρεσε μιγαδικούς αριθμούς.
    • Χρησιμοποίησε i² = −1.
    • Γράψε τις απαντήσεις στη μορφή a + bi.
    • Διαίρεσε με τον συζυγή μιγαδικό.
  2. 5Δευτεροβάθμιες με μιγαδικές λύσειςΛύσε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση, και όσες έχουν μιγαδικές λύσεις.
    • Χρησιμοποίησε τον τύπο της δευτεροβάθμιας όταν η διακρίνουσα είναι αρνητική.
    • Ξέρε ότι οι μιγαδικές λύσεις έρχονται σε συζυγή ζεύγη.
    • Σύνδεσε την έλλειψη τομών με τον άξονα x με μιγαδικές λύσεις.
  3. 6Δευτεροβάθμιες ανισώσεις και συστήματαΛύσε δευτεροβάθμιες ανισώσεις και μη γραμμικά συστήματα.
    • Λύσε x² − x − 6 > 0 με πίνακα προσήμων.
    • Σχεδίασε μια δευτεροβάθμια ανίσωση.
    • Λύσε ένα σύστημα με ευθεία και κύκλο.

Πολυωνυμικές συναρτήσεις

  1. 7Σχεδίασε πολυωνυμικές συναρτήσειςΣχεδίασε μια πολυωνυμική συνάρτηση από τον βαθμό, τη συμπεριφορά στα άκρα και τα μηδενικά.
    • Βρες τη συμπεριφορά στα άκρα από τον μεγιστοβάθμιο όρο.
    • Ξέρε πώς η πολλαπλότητα αλλάζει τη γραφική παράσταση σε ένα μηδενικό.
    • Βρες σημεία στροφής και σχετικά ακρότατα.
  2. 8Διαίρεσε πολυώνυμαΔιαίρεσε πολυώνυμα με ευκλείδεια διαίρεση και συνθετική διαίρεση.
    • Χρησιμοποίησε ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων.
    • Χρησιμοποίησε συνθετική διαίρεση για x − c.
    • Γράψε το αποτέλεσμα με υπόλοιπο.
  3. 9Θεώρημα υπολοίπου και θεώρημα παράγονταΧρησιμοποίησε το θεώρημα υπολοίπου και το θεώρημα παράγοντα για να βρεις παράγοντες.
    • Ξέρε ότι το p(a) είναι το υπόλοιπο στη διαίρεση με x − a.
    • Ξέρε ότι το x − a είναι παράγοντας όταν p(a) = 0.
    • Παραγοντοποίησε ένα κυβικό από ένα γνωστό μηδενικό.
  4. 10Βρες όλα τα μηδενικάΒρες όλα τα πραγματικά και μιγαδικά μηδενικά ενός πολυωνύμου.
    • Χρησιμοποίησε το θεώρημα ρητής ρίζας για να απαριθμήσεις υποψήφιους.
    • Ξέρε το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας.
    • Γράψε ένα πολυώνυμο από τα μηδενικά του.
  5. 11Πολυωνυμικές ταυτότητεςΑπόδειξε και χρησιμοποίησε πολυωνυμικές ταυτότητες.
    • Παραγοντοποίησε αθροίσματα και διαφορές κύβων.
    • Απόδειξε μια ταυτότητα με ανάπτυγμα.
    • Φτιάξε πυθαγόρειες τριάδες με μια ταυτότητα.
  6. 12Το διωνυμικό θεώρημαΑνάπτυξε το (a + b)ⁿ με το τρίγωνο του Πασκάλ και το διωνυμικό θεώρημα.
    • Φτιάξε το τρίγωνο του Πασκάλ.
    • Χρησιμοποίησε συνδυασμούς για τους συντελεστές.
    • Βρες έναν μόνο όρο ενός αναπτύγματος.

Ρητές συναρτήσεις

  1. 13Απλοποίησε ρητές παραστάσειςΑπλοποίησε μια ρητή παράσταση και πες τους περιορισμούς της.
    • Παραγοντοποίησε αριθμητή και παρονομαστή.
    • Απλοποίησε τους κοινούς παράγοντες.
    • Απαρίθμησε τις τιμές που δεν επιτρέπονται.
  2. 14Πολλαπλασίασε και διαίρεσε ρητές παραστάσειςΠολλαπλασίασε και διαίρεσε ρητές παραστάσεις.
    • Παραγοντοποίησε πριν πολλαπλασιάσεις.
    • Διαίρεσε πολλαπλασιάζοντας με τον αντίστροφο.
    • Απλοποίησε σύνθετα κλάσματα.
  3. 15Πρόσθεσε και αφαίρεσε ρητές παραστάσειςΠρόσθεσε και αφαίρεσε ρητές παραστάσεις με διαφορετικούς παρονομαστές.
    • Βρες τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή.
    • Ξαναγράψε κάθε κλάσμα και συνδύασέ τα.
    • Απλοποίησε το αποτέλεσμα.
  4. 16Σχεδίασε ρητές συναρτήσειςΣχεδίασε ρητές συναρτήσεις με τις ασύμπτωτες και τις οπές τους.
    • Βρες κατακόρυφες ασύμπτωτες και οπές.
    • Βρες οριζόντιες ασύμπτωτες από τους βαθμούς.
    • Σχεδίασε y = a/(x − h) + k.
  5. 17Λύσε ρητές εξισώσειςΛύσε ρητές εξισώσεις και έλεγξε για πλασματικές λύσεις.
    • Πολλαπλασίασε με τον ελάχιστο κοινό παρονομαστή.
    • Απόρριψε λύσεις που κάνουν έναν παρονομαστή 0.
    • Λύσε προβλήματα ρυθμού εργασίας και μέσου κόστους.

Ριζικές συναρτήσεις

  1. 18Ριζικές παραστάσειςΑπλοποίησε και συνδύασε νιοστές ρίζες σε μια ριζική παράσταση.
    • Απλοποίησε ∛54 και √(50x³).
    • Πρόσθεσε, αφαίρεσε και πολλαπλασίασε ριζικά.
    • Ρητοποίησε έναν παρονομαστή.
  2. 19Σχεδίασε συναρτήσεις τετραγωνικής και κυβικής ρίζαςΣχεδίασε συναρτήσεις τετραγωνικής και κυβικής ρίζας και τους μετασχηματισμούς τους.
    • Σχεδίασε y = √x και y = ∛x.
    • Βρες το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών.
    • Σύνδεσέ τις ως αντίστροφες των x² και x³.
  3. 20Λύσε ριζικές εξισώσειςΛύσε ριζικές εξισώσεις και έλεγξε για πλασματικές λύσεις.
    • Απομόνωσε πρώτα το ριζικό.
    • Ύψωσε και τις δύο πλευρές σε δύναμη.
    • Έλεγξε κάθε λύση στην αρχική εξίσωση.

Εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις

  1. 21Εκθετικές συναρτήσεις και eΣχεδίασε εκθετικές συναρτήσεις και χρησιμοποίησε τον αριθμό e.
    • Σχεδίασε y = abˣ και βρες την ασύμπτωτή της.
    • Χρησιμοποίησε συνεχή αύξηση με A = Pe^(rt).
    • Σύγκρινε περιόδους ανατοκισμού.
  2. 22ΛογάριθμοιΠέρνα από εκθετική σε λογαριθμική μορφή και σχεδίασε λογαριθμικές συναρτήσεις.
    • Ξέρε ότι log_b x = y σημαίνει bʸ = x.
    • Υπολόγισε δεκαδικούς και φυσικούς λογάριθμους.
    • Σχεδίασε y = log_b x ως αντίστροφη της bˣ.
  3. 23Ιδιότητες των λογαρίθμωνΑνάπτυξε και συμπύκνωσε λογάριθμους.
    • Χρησιμοποίησε τους κανόνες γινομένου, πηλίκου και δύναμης.
    • Ανάπτυξε και συμπύκνωσε παραστάσεις.
    • Χρησιμοποίησε τον τύπο αλλαγής βάσης.
  4. 24Λύσε εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσειςΛύσε εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις.
    • Πάρε λογάριθμο και στις δύο πλευρές για να λύσεις 3ˣ = 20.
    • Ξαναγράψε σε εκθετική μορφή για να λύσεις λογαριθμικές εξισώσεις.
    • Απόρριψε λύσεις έξω από το πεδίο ορισμού.
  5. 25Εκθετικά και λογαριθμικά μοντέλαΦτιάξε και χρησιμοποίησε εκθετικά και λογαριθμικά μοντέλα.
    • Βρες χρόνο διπλασιασμού και ημιζωή.
    • Χρησιμοποίησε τις κλίμακες pH και ντεσιμπέλ.
    • Προσάρμοσε ένα εκθετικό μοντέλο σε δεδομένα.

Ακολουθίες και σειρές

  1. 26Συμβολισμός σίγμαΓράψε και υπολόγισε αθροίσματα σε συμβολισμό σίγμα.
    • Διάβασε τον δείκτη, τα όρια και τον κανόνα.
    • Ανάπτυξε ένα σύντομο άθροισμα και πρόσθεσέ το.
    • Γράψε ένα άθροισμα σε συμβολισμό σίγμα.
  2. 27Αριθμητικές σειρέςΒρες το άθροισμα μιας αριθμητικής σειράς.
    • Χρησιμοποίησε Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
    • Βρες το πλήθος των όρων.
    • Λύσε προβλήματα θέσεων και αποταμίευσης.
  3. 28Γεωμετρικές σειρέςΒρες το άθροισμα πεπερασμένων και άπειρων γεωμετρικών σειρών.
    • Χρησιμοποίησε Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r).
    • Ξέρε ότι μια άπειρη σειρά συγκλίνει όταν |r| < 1.
    • Βρες δόσεις δανείου και στεγαστικού.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

  1. 29Ο μοναδιαίος κύκλοςΒρες το ημίτονο και το συνημίτονο κάθε γωνίας με τον μοναδιαίο κύκλο.
    • Σχεδίασε γωνίες σε τυπική θέση σε μοίρες και ακτίνια.
    • Βρες ακριβείς τιμές σε ειδικές γωνίες.
    • Χρησιμοποίησε γωνίες αναφοράς και πρόσημα ανά τεταρτημόριο.
  2. 30Σχεδίασε ημίτονο και συνημίτονοΣχεδίασε ημίτονο και συνημίτονο με πλάτος, περίοδο και μετατοπίσεις.
    • Βρες το πλάτος και την περίοδο.
    • Σχεδίασε μετατοπίσεις φάσης και κατακόρυφες μετατοπίσεις.
    • Σχεδίασε y = tan x.
  3. 31Μοντελοποίησε περιοδική συμπεριφοράΓράψε μια τριγωνομετρική συνάρτηση για να μοντελοποιήσεις περιοδική συμπεριφορά.
    • Μοντελοποίησε παλίρροιες και ρόδες λούνα παρκ.
    • Βρες τη μέση γραμμή και το πλάτος από δεδομένα.
    • Χρησιμοποίησε το μοντέλο για να προβλέψεις.
  4. 32Η πυθαγόρεια ταυτότηταΑπόδειξε και χρησιμοποίησε την πυθαγόρεια ταυτότητα sin²θ + cos²θ = 1.
    • Απόδειξε την ταυτότητα με τον μοναδιαίο κύκλο.
    • Βρες το cos θ από το sin θ και το τεταρτημόριο.
    • Απλοποίησε τριγωνομετρικές παραστάσεις.

Πιθανότητες και στατιστική

  1. 33Μεταθέσεις και συνδυασμοίΜέτρα μεταθέσεις και συνδυασμούς.
    • Χρησιμοποίησε τη βασική αρχή απαρίθμησης.
    • Ξέρε πότε μετράει η σειρά.
    • Χρησιμοποίησε nPr και nCr για να βρεις πιθανότητες.
  2. 34Δεσμευμένη πιθανότητα και ανεξαρτησίαΒρες δεσμευμένες πιθανότητες και έλεγξε την ανεξαρτησία.
    • Χρησιμοποίησε P(A | B) = P(A και B) / P(B).
    • Χρησιμοποίησε τον κανόνα πρόσθεσης.
    • Ξέρε ότι τα A και B είναι ανεξάρτητα όταν P(A και B) = P(A)P(B).
  3. 35Η κανονική κατανομήΧρησιμοποίησε την κανονική κατανομή για να εκτιμήσεις ποσοστά.
    • Χρησιμοποίησε τον κανόνα 68-95-99.7.
    • Βρες και ερμήνευσε z-τιμές.
    • Ξέρε πότε ταιριάζει ένα κανονικό μοντέλο.
  4. 36Έρευνες, πειράματα και μελέτεςΞεχώρισε έρευνες, πειράματα και μελέτες παρατήρησης.
    • Ξέρε πώς η τυχαιοποίηση μειώνει τη μεροληψία.
    • Ξέρε ότι μόνο τα πειράματα δείχνουν αιτία και αποτέλεσμα.
    • Εντόπισε μεροληψία σε μια ερώτηση έρευνας.
  5. 37Περιθώριο σφάλματος και συμπερασμόςΧρησιμοποίησε προσομοίωση και περιθώριο σφάλματος για να κρίνεις συμπεράσματα.
    • Εκτίμησε μια αναλογία πληθυσμού από ένα δείγμα.
    • Ερμήνευσε το περιθώριο σφάλματος.
    • Χρησιμοποίησε προσομοίωση για να αποφασίσεις αν μια διαφορά είναι σημαντική.

Επανάληψη, μικτή εξάσκηση και προκλήσεις

  1. 38Επανάληψη οικογενειών συναρτήσεωνΛύσε μικτά προβλήματα από οικογένειες πολυωνυμικών, ρητών, ριζικών και εκθετικών συναρτήσεων.
    • Ταίριαξε μια γραφική παράσταση με την οικογένεια συναρτήσεών της.
    • Λύσε εξισώσεις κάθε τύπου.
    • Έλεγξε για πλασματικές λύσεις.
  2. 39Επανάληψη σειρών, τριγωνομετρίας και στατιστικήςΛύσε μικτά προβλήματα με σειρές, τριγωνομετρικές συναρτήσεις, πιθανότητες και στατιστική.
    • Άθροισε αριθμητικές και γεωμετρικές σειρές.
    • Σχεδίασε και μοντελοποίησε με τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
    • Βρες πιθανότητες και ερμήνευσε στατιστική.
  3. 40Πρόκληση Άλγεβρας 2Ολοκλήρωσε μικτές ερωτήσεις που καλύπτουν τις μεγάλες ενότητες.
    • Λύσε προβλήματα από κάθε ενότητα χωρίς υποδείξεις.
    • Διάλεξε τη σωστή συνάρτηση για να μοντελοποιήσεις μια κατάσταση.
    • Βρες τα σημεία που θέλουν περισσότερη εξάσκηση.