Όλα τα μαθήματα

Σειρά μαθημάτων

Μαθηματικά της 10ης τάξης: Γεωμετρία

Γράψε αποδείξεις, χρησιμοποίησε μετασχηματισμούς, απόδειξε ότι τρίγωνα είναι ίσα και όμοια, λύσε ορθογώνια τρίγωνα με τριγωνομετρία και μελέτησε κύκλους και στερεά.

Κάνε τα μαθήματα με τη σειρά, από τα σημεία και τις ευθείες μέχρι να λύνεις προβλήματα μόνος σου. Στο τέλος μπορείς να χρησιμοποιείς λογική και κατασκευές, να αποδεικνύεις θεωρήματα για ευθείες και γωνίες και να περιγράφεις την ισότητα με στερεές κινήσεις. Μπορείς να αποδεικνύεις ότι τρίγωνα είναι ίσα, να χρησιμοποιείς ιδιότητες τριγώνων και τετραπλεύρων και να αποδεικνύεις ότι τρίγωνα είναι όμοια με ομοιοθεσίες. Μπορείς να λύνεις ορθογώνια τρίγωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα και την τριγωνομετρία και να χρησιμοποιείς τον νόμο των ημιτόνων και τον νόμο των συνημιτόνων. Μπορείς να βρίσκεις μήκη τόξων, εμβαδά τομέων και εγγεγραμμένες γωνίες και να γράφεις την εξίσωση κύκλου. Μπορείς να γράφεις αποδείξεις με συντεταγμένες και να βρίσκεις όγκους πρισμάτων, κυλίνδρων, πυραμίδων, κώνων και σφαιρών.

Πώς να χρησιμοποιείς αυτά τα μαθήματα

  • Ξεκίνα από το μάθημα που λέει Κάνε αυτό. Προχώρα όταν μπορείς να κάνεις μόνος σου τη γραμμή κάτω από τον τίτλο.
  • Πρώτα παίξε τα Παιχνίδια. Μετά κάνε το Κουίζ. 8 από 10 σωστές για να περάσεις. Τα Φύλλα εργασίας είναι σε χαρτί. Οι απαντήσεις είναι κάτω.
  • Κάθε μάθημα στηρίζεται στο προηγούμενο. Αν ένα μάθημα είναι δύσκολο, γύρνα ένα πίσω.
  • Σχεδίασε και σημείωσε ένα σχήμα για κάθε πρόβλημα. Κράτα κοντά διαβήτη, κανόνα και μοιρογνωμόνιο. Σε μια απόδειξη, δώσε λόγο για κάθε πρόταση.

Κάθε μάθημα έχει παιχνίδια, κουίζ και φύλλα εργασίας.

0 από 43

Βάσεις, κατασκευές και λογική

  1. 1Σημεία, ευθείες και επίπεδαΟνόμασε και περίγραψε σημεία, ευθείες, ημιευθείες, τμήματα και επίπεδα.
    • Χρησιμοποίησε σωστό συμβολισμό για ευθείες, ημιευθείες και τμήματα.
    • Μάθε τους αόριστους όρους της γεωμετρίας.
    • Περίγραψε πώς τέμνονται ευθείες και επίπεδα.
  2. 2Απόσταση, μέσο και μέτρο γωνίαςΒρες αποστάσεις, μέσα και μέτρα γωνιών.
    • Χρησιμοποίησε τον τύπο της απόστασης στο επίπεδο συντεταγμένων.
    • Χρησιμοποίησε τον τύπο του μέσου.
    • Χρησιμοποίησε τα αιτήματα πρόσθεσης τμημάτων και γωνιών.
  3. 3ΚατασκευέςΚατασκεύασε αντίγραφα, διχοτόμους και κάθετες με διαβήτη και κανόνα.
    • Αντέγραψε ένα τμήμα και μια γωνία.
    • Διχοτόμησε ένα τμήμα και μια γωνία.
    • Κατασκεύασε μια κάθετη και μια παράλληλη ευθεία.
  4. 4Λογική και υποθετικές προτάσειςΓράψε με λογική υποθετικές προτάσεις, αντίστροφες και αντιπαραδείγματα.
    • Γράψε την αντίστροφη, την αντίθετη και την αντιθετοαντίστροφη.
    • Βρες ένα αντιπαράδειγμα για μια ψευδή πρόταση.
    • Ξεχώρισε την επαγωγική από την απαγωγική σκέψη.

Ευθείες, γωνίες και αποδείξεις

  1. 5Παράλληλες ευθείες και τέμνουσαΧρησιμοποίησε τα ζεύγη γωνιών που σχηματίζουν παράλληλες ευθείες και μια τέμνουσα.
    • Ονόμασε τις εντός εναλλάξ, τις αντίστοιχες και τις εντός επί τα αυτά γωνίες.
    • Βρες άγνωστες γωνίες.
    • Απόδειξε ότι ευθείες είναι παράλληλες από ζεύγη γωνιών.
  2. 6Γράψε αποδείξειςΓράψε αποδείξεις σε δύο στήλες και σε παράγραφο.
    • Χρησιμοποίησε ορισμούς, αιτήματα και θεωρήματα ως λόγους.
    • Χρησιμοποίησε ιδιότητες της άλγεβρας στις αποδείξεις.
    • Γράψε μια απόδειξη σε δύο στήλες και σε παράγραφο.
  3. 7Απόδειξε θεωρήματα για ευθείες και γωνίεςΑπόδειξε θεωρήματα για ευθείες και γωνίες, για κατακορυφήν γωνίες και μεσοκαθέτους.
    • Απόδειξε ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.
    • Απόδειξε ότι τα σημεία μιας μεσοκαθέτου ισαπέχουν από τα άκρα.
    • Απόδειξε το θεώρημα των εντός εναλλάξ γωνιών.

Μετασχηματισμοί και ισότητα

  1. 8Στερεές κινήσειςΠερίγραψε τις στερεές κινήσεις, μεταφορές, ανακλάσεις και στροφές, ως συναρτήσεις.
    • Γράψε κανόνες όπως (x, y) → (−y, x).
    • Περίγραψε μια ακολουθία μετασχηματισμών.
    • Μάθε ότι οι στερεές κινήσεις κρατούν τα μήκη και τις γωνίες.
  2. 9Ισότητα με στερεές κινήσειςΔείξε ότι σχήματα είναι ίσα με μια ακολουθία στερεών κινήσεων.
    • Όρισε την ισότητα με στερεές κινήσεις.
    • Βρες μια ακολουθία που απεικονίζει ένα σχήμα σε ένα άλλο.
    • Ονόμασε τα αντίστοιχα μέρη.
  3. 10ΣυμμετρίαΒρες αξονική και περιστροφική συμμετρία σε σχήματα.
    • Βρες τους άξονες συμμετρίας ενός πολυγώνου.
    • Βρες τη γωνία της περιστροφικής συμμετρίας.
    • Περίγραψε μετασχηματισμούς που απεικονίζουν ένα σχήμα στον εαυτό του.

Τρίγωνα

  1. 11Ισότητα τριγώνωνΑπόδειξε την ισότητα τριγώνων με SSS, SAS, ASA, AAS και HL.
    • Διάλεξε το σωστό κριτήριο ισότητας.
    • Μάθε γιατί το SSA δεν ισχύει.
    • Χρησιμοποίησε το CPCTC στις αποδείξεις.
  2. 12Θεωρήματα γωνιών τριγώνουΑπόδειξε και χρησιμοποίησε τα θεωρήματα του αθροίσματος των γωνιών και της εξωτερικής γωνίας.
    • Απόδειξε ότι οι γωνίες ενός τριγώνου κάνουν 180°.
    • Χρησιμοποίησε το θεώρημα της εξωτερικής γωνίας.
    • Βρες άγνωστες γωνίες με άλγεβρα.
  3. 13Ισοσκελή και ισόπλευρα τρίγωναΧρησιμοποίησε το θεώρημα των γωνιών της βάσης σε ισοσκελή και ισόπλευρα τρίγωνα, και το αντίστροφό του.
    • Μάθε ότι οι γωνίες της βάσης ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
    • Χρησιμοποίησε το αντίστροφο για να βρεις ίσες πλευρές.
    • Μάθε ότι ένα ισόπλευρο τρίγωνο είναι ισογώνιο.
  4. 14Διχοτόμοι, διάμεσοι και ύψηΒρες το περίκεντρο, το έγκεντρο, το κέντρο βάρους και το ορθόκεντρο με διχοτόμους, διαμέσους και ύψη.
    • Κατασκεύασε κάθε κέντρο του τριγώνου.
    • Μάθε ότι το κέντρο βάρους χωρίζει μια διάμεσο σε λόγο 2 προς 1.
    • Χρησιμοποίησε το θεώρημα της μεσαίας γραμμής.
  5. 15Ανισότητες τριγώνουΧρησιμοποίησε τις ανισότητες τριγώνου για να αποφασίσεις αν τρία μήκη κάνουν τρίγωνο και για να βάλεις σε σειρά τις πλευρές και τις γωνίες του.
    • Χρησιμοποίησε την τριγωνική ανισότητα.
    • Μάθε ότι η μεγαλύτερη πλευρά είναι απέναντι από τη μεγαλύτερη γωνία.
    • Βρες το διάστημα των δυνατών μηκών για την τρίτη πλευρά.

Πολύγωνα και τετράπλευρα

  1. 16Άθροισμα γωνιών πολυγώνουΒρες το άθροισμα των εσωτερικών και των εξωτερικών γωνιών ενός πολυγώνου.
    • Χρησιμοποίησε (n − 2) × 180° για το εσωτερικό άθροισμα.
    • Μάθε ότι οι εξωτερικές γωνίες κάνουν 360°.
    • Βρες κάθε γωνία ενός κανονικού πολυγώνου.
  2. 17Ιδιότητες παραλληλογράμμωνΑπόδειξε και χρησιμοποίησε τις ιδιότητες των παραλληλογράμμων.
    • Απόδειξε ότι οι απέναντι πλευρές και γωνίες είναι ίσες.
    • Απόδειξε ότι οι διαγώνιοι διχοτομούνται.
    • Δείξε ότι ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
  3. 18Ορθογώνια, ρόμβοι και τετράγωναΧρησιμοποίησε τις ιδιότητες των ορθογωνίων, των ρόμβων και των τετραγώνων.
    • Μάθε ότι οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες.
    • Μάθε ότι οι διαγώνιοι ρόμβου είναι κάθετες.
    • Ταξινόμησε ένα τετράπλευρο από τις ιδιότητές του.
  4. 19Τραπέζια και χαρταετοίΧρησιμοποίησε τις ιδιότητες των τραπεζίων και των χαρταετών.
    • Χρησιμοποίησε το θεώρημα της μεσαίας βάσης του τραπεζίου.
    • Μάθε τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τραπεζίου.
    • Μάθε ότι οι διαγώνιοι ενός χαρταετού είναι κάθετες.

Ομοιότητα

  1. 20ΟμοιοθεσίεςΚάνε ομοιοθεσίες σχημάτων και περίγραψε το αποτέλεσμα του λόγου.
    • Κάνε ομοιοθεσία από ένα κέντρο με λόγο k.
    • Μάθε ότι μια ομοιοθεσία απεικονίζει μια ευθεία σε παράλληλη ευθεία.
    • Όρισε την ομοιότητα με ομοιοθεσίες και στερεές κινήσεις.
  2. 21Όμοια τρίγωναΑπόδειξε ότι τρίγωνα είναι όμοια με AA, SAS και SSS.
    • Χρησιμοποίησε το κριτήριο ομοιότητας AA.
    • Γράψε και λύσε αναλογίες για τις πλευρές που λείπουν.
    • Λύσε προβλήματα έμμεσης μέτρησης με σκιές.
  3. 22Αναλογίες σε τρίγωναΧρησιμοποίησε αναλογίες σε τρίγωνα με το θεώρημα του διαιρέτη πλευρών και το θεώρημα της διχοτόμου.
    • Χρησιμοποίησε το θεώρημα του διαιρέτη πλευρών.
    • Χρησιμοποίησε το θεώρημα της διχοτόμου γωνίας τριγώνου.
    • Απόδειξε το Πυθαγόρειο θεώρημα με όμοια τρίγωνα.

Ορθογώνια τρίγωνα και τριγωνομετρία

  1. 23Το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό τουΧρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα και το αντίστροφό του και ταξινόμησε τρίγωνα από τις πλευρές τους.
    • Βρες τις πλευρές που λείπουν σε ορθογώνια τρίγωνα.
    • Χρησιμοποίησε το αντίστροφο για να ελέγξεις αν ένα τρίγωνο είναι ορθογώνιο.
    • Ταξινόμησε τρίγωνα σε οξυγώνια, ορθογώνια ή αμβλυγώνια.
  2. 24Ειδικά ορθογώνια τρίγωναΒρες τις πλευρές των ειδικών ορθογώνιων τριγώνων 45-45-90 και 30-60-90.
    • Χρησιμοποίησε τον λόγο 1 : 1 : √2.
    • Χρησιμοποίησε τον λόγο 1 : √3 : 2.
    • Άφησε ακριβείς απαντήσεις με ρίζες.
  3. 25Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένηΒρες το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο.
    • Χρησιμοποίησε το SOH CAH TOA.
    • Μάθε ότι οι λόγοι βγαίνουν από όμοια τρίγωνα.
    • Μάθε ότι sin A = cos (90° − A).
  4. 26Λύσε ορθογώνια τρίγωναΛύσε ορθογώνια τρίγωνα: βρες πλευρές και γωνίες που λείπουν με τριγωνομετρία.
    • Χρησιμοποίησε αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις για να βρεις γωνίες.
    • Λύσε προβλήματα γωνίας ανύψωσης και γωνίας ταπείνωσης.
    • Στρογγυλοποίησε τις απαντήσεις με λογική.
  5. 27Οι νόμοι των ημιτόνων και των συνημιτόνωνΛύσε οποιοδήποτε τρίγωνο με τον νόμο των ημιτόνων ή τον νόμο των συνημιτόνων.
    • Χρησιμοποίησε τον νόμο των ημιτόνων.
    • Χρησιμοποίησε τον νόμο των συνημιτόνων.
    • Βρες το εμβαδόν με 1/2 ab sin C.

Κύκλοι

  1. 28Μέρη κύκλου και τόξαΟνόμασε μέρη ενός κύκλου και βρες τα μέτρα των τόξων.
    • Ονόμασε ακτίνες, χορδές, διαμέτρους, τέμνουσες και εφαπτόμενες.
    • Βρες τα μέτρα του μικρού και του μεγάλου τόξου.
    • Μάθε ότι όλοι οι κύκλοι είναι όμοιοι.
  2. 29Μήκος τόξου και ακτίνιαΒρες το μήκος τόξου και μετέτρεψε ανάμεσα σε μοίρες και ακτίνια.
    • Βρες το μήκος τόξου ως κλάσμα της περιφέρειας.
    • Όρισε τι είναι ένα ακτίνιο.
    • Μετέτρεψε ανάμεσα σε μοίρες και ακτίνια.
  3. 30Εμβαδόν τομέαΒρες το εμβαδόν ενός τομέα.
    • Βρες το εμβαδόν του τομέα ως κλάσμα του εμβαδού του κύκλου.
    • Βρες το εμβαδόν ενός κυκλικού τμήματος.
    • Λύσε προβλήματα πίτσας και ποτιστήρα.
  4. 31Εγγεγραμμένες γωνίεςΧρησιμοποίησε τη σχέση ανάμεσα σε εγγεγραμμένες γωνίες και τόξα.
    • Μάθε ότι μια εγγεγραμμένη γωνία είναι το μισό του τόξου της.
    • Μάθε ότι μια γωνία εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή.
    • Μάθε ότι οι απέναντι γωνίες εγγεγραμμένου τετραπλεύρου κάνουν 180°.
  5. 32Εφαπτόμενες, χορδές και τέμνουσεςΧρησιμοποίησε τις ιδιότητες των εφαπτόμενων, των χορδών και των τεμνουσών.
    • Μάθε ότι μια εφαπτόμενη είναι κάθετη στην ακτίνα.
    • Χρησιμοποίησε γινόμενα τμημάτων για χορδές και τέμνουσες.
    • Βρες γωνίες που σχηματίζουν χορδές, τέμνουσες και εφαπτόμενες.
  6. 33Εξισώσεις κύκλωνΓράψε και σχεδίασε την εξίσωση ενός κύκλου.
    • Χρησιμοποίησε (x − h)² + (y − k)² = r².
    • Βρες το κέντρο και την ακτίνα με συμπλήρωση τετραγώνου.
    • Απόφασε αν ένα σημείο βρίσκεται πάνω σε κύκλο.

Γεωμετρία συντεταγμένων

  1. 34Αποδείξεις με συντεταγμένεςΑπόδειξε γεωμετρικά γεγονότα με συντεταγμένες.
    • Τοποθέτησε τα σχήματα στο επίπεδο συντεταγμένων με καλό τρόπο.
    • Χρησιμοποίησε κλίση και απόσταση για να ταξινομήσεις ένα τετράπλευρο.
    • Απόδειξε ότι μια μεσαία γραμμή είναι παράλληλη σε μια πλευρά.
  2. 35Χώρισε ένα τμήμαΒρες το σημείο που χωρίζει ένα τμήμα σε δοσμένο λόγο.
    • Βρες το σημείο που είναι στα 2/5 της διαδρομής από το A στο B.
    • Χώρισε ένα τμήμα στον λόγο 1 : 3.
    • Σύνδεσε το χώρισμα τμήματος με τις ομοιοθεσίες.
  3. 36Περίμετρος και εμβαδόν με συντεταγμένεςΒρες την περίμετρο και το εμβαδόν πολυγώνων στο επίπεδο συντεταγμένων.
    • Χρησιμοποίησε τον τύπο της απόστασης για την περίμετρο.
    • Βρες το εμβαδόν με διάσπαση ή με κλείσιμο σε ορθογώνιο.
    • Βρες το εμβαδόν ενός τριγώνου από τις κορυφές του.

Όγκος και μοντέλα

  1. 37Όγκος πρισμάτων και κυλίνδρωνΒρες και εξήγησε τους όγκους πρισμάτων και κυλίνδρων.
    • Χρησιμοποίησε V = Bh.
    • Εξήγησε την αρχή του Καβαλιέρι.
    • Βρες τον όγκο πλάγιων στερεών.
  2. 38Πυραμίδες, κώνοι και σφαίρεςΒρες τον όγκο και το εμβαδόν της επιφάνειας πυραμίδων, κώνων και σφαιρών.
    • Χρησιμοποίησε V = 1/3 Bh.
    • Χρησιμοποίησε V = 4/3 πr³ και SA = 4πr².
    • Λύσε προβλήματα σύνθετων στερεών.
  3. 39Τομές και στερεά εκ περιστροφήςΠερίγραψε τομές και το στερεό που φτιάχνεται όταν περιστρέφεται ένα σχήμα.
    • Ονόμασε τομές πρισμάτων, κυλίνδρων και κώνων.
    • Περίγραψε το στερεό από περιστροφή ορθογωνίου ή τριγώνου.
    • Σύνδεσε σχήματα 2D με στερεά 3D.
  4. 40Μοντέλα πυκνότητας και σχεδίουΧρησιμοποίησε τη γεωμετρία για να μοντελοποιήσεις προβλήματα πυκνότητας και σχεδίου.
    • Βρες την πληθυσμιακή πυκνότητα ανά τετραγωνικό μίλι.
    • Βρες τη μάζα ενός αντικειμένου από την πυκνότητά του.
    • Σχεδίασε ένα κουτί που να τηρεί έναν περιορισμό.

Επανάληψη, μικτή εξάσκηση και προκλήσεις

  1. 41Επανάληψη αποδείξεων και ισότηταςΛύσε μικτά προβλήματα αποδείξεων, ισότητας, μετασχηματισμών, τριγώνων και τετραπλεύρων.
    • Γράψε αποδείξεις με λόγους.
    • Απόδειξε ότι τρίγωνα είναι ίσα και όμοια.
    • Χρησιμοποίησε ιδιότητες τετραπλεύρων.
  2. 42Επανάληψη τριγωνομετρίας, κύκλων και όγκουΛύσε μικτά προβλήματα τριγωνομετρίας, κύκλων και όγκου στερεών.
    • Λύσε ορθογώνια και μη ορθογώνια τρίγωνα.
    • Βρες τόξα, τομείς και εξισώσεις κύκλων.
    • Βρες όγκους στερεών.
  3. 43Πρόκληση γεωμετρίαςΟλοκλήρωσε την πρόκληση γεωμετρίας με μικτές ερωτήσεις από τις μεγάλες ενότητες.
    • Λύσε προβλήματα από κάθε ενότητα χωρίς βοήθεια.
    • Εξήγησε κάθε απάντηση με ένα θεώρημα.
    • Βρες τα θέματα που θέλουν περισσότερη εξάσκηση.