Всички уроци

Курс

Математика за 9. клас: Алгебра 1

Решавай уравнения и неравенства, чертай линейни и експоненциални функции, разлагай полиноми и решавай квадратни уравнения.

Минавай уроците поред, от изразите до самостоятелното решаване на задачи. Накрая ще можеш да решаваш линейни уравнения, да преобразуваш формули и да решаваш съставни неравенства и неравенства с абсолютна стойност. Ще можеш да използваш функционален запис, да пишеш линейни уравнения в няколко форми и да моделираш с аритметични прогресии. Ще можеш да решаваш системи уравнения и неравенства и да чертаеш частично определени функции. Ще можеш да използваш рационални степенни показатели, да моделираш експоненциален растеж и намаляване и да сравняваш линейни и експоненциални модели. Ще можеш да събираш, умножаваш и разлагаш полиноми, да чертаеш квадратни функции и да решаваш квадратни уравнения чрез разлагане, допълване до точен квадрат и квадратната формула. Ще можеш да обобщаваш данни със стандартно отклонение, двумерни таблици и остатъци.

Как да ползваш тези уроци

  • Започни от урока, на който пише Направи това. Мини нататък, когато можеш сам да направиш реда под заглавието.
  • Първо играй Игри. После направи Тест. 8 от 10 верни, за да минеш. Работни листове са на хартия. Отговорите са отдолу.
  • Всеки урок стъпва на предишния. Ако урокът е труден, върни се един назад.
  • Запиши всяка стъпка. Провери всяко решение, като го върнеш в първото уравнение. Графичен калкулатор или безплатно приложение за графики ти помага да видиш функциите, но първо скицирай графиката на ръка.

Всеки урок има игри, тест и работни листове.

0 от 41

Изрази и уравнения

  1. 1Изрази и свойстваОпрости изрази със свойствата на реалните числа.
    • Използвай разместителното, съдружителното и разпределителното свойство.
    • Назови членовете, множителите и коефициентите на израз.
    • Тълкувай части от израз в контекст, например P(1 + r)^n.
  2. 2Реши линейни уравненияРеши линейни уравнения на няколко стъпки и обоснови всяка стъпка.
    • Реши уравнения с дроби и променливи от двете страни.
    • Обясни всяка стъпка със свойство.
    • Разпознай уравнения без решение или с всички реални числа.
  3. 3Буквени уравнения и формулиПреобразувай формули и буквени уравнения, за да изразиш друга променлива.
    • Реши A = 1/2 bh за h.
    • Реши d = rt за t.
    • Реши 2x + 3y = 6 за y.
  4. 4Единици и моделиранеИзползвай единици, за да съставиш и провериш модел.
    • Превръщай единици с анализ на размерностите.
    • Избери разумно ниво на точност.
    • Напиши уравнение за реална ситуация.

Неравенства

  1. 5Реши линейни неравенстваРеши и начертай линейни неравенства на няколко стъпки.
    • Обърни знака, когато умножаваш по отрицателно число или делиш на него.
    • Начертай решението върху числовата ос.
    • Запиши решението в интервален запис.
  2. 6Съставни неравенстваРеши и начертай неравенства „и“ и „или“.
    • Реши −3 < 2x + 1 ≤ 7.
    • Реши x < −2 или x > 5.
    • Начертай сечението или обединението.
  3. 7Уравнения и неравенства с абсолютна стойностРеши уравнения и неравенства с абсолютна стойност.
    • Реши |x − 3| = 5 като две уравнения.
    • Реши |x + 1| < 4 като неравенство „и“.
    • Разпознай кога няма решение.

Линейни функции

  1. 8Функционален запис, дефиниционно множество и множество от стойностиИзползвай функционалния запис f(x) и намери дефиниционното множество и множеството от стойности на функция.
    • Пресметни f(3) и реши f(x) = 7.
    • Намери дефиниционното множество и множеството от стойности от графика.
    • Избери разумно дефиниционно множество за реална ситуация.
  2. 9Скорост на изменениеНамери и обясни средната скорост на изменение в интервал.
    • Намери скоростта на изменение от таблица, графика или уравнение.
    • Знай, че линейната функция има постоянна скорост на изменение.
    • Обясни единиците на скоростта, например долари на час.
  3. 10Форми на линейни уравненияЗапиши линейни уравнения във форма наклон-отрез, точка-наклон и стандартен вид.
    • Запиши y − y₁ = m(x − x₁) от точка и наклон.
    • Преобразувай от една форма в друга.
    • Намери пресечните точки от стандартния вид.
  4. 11Успоредни и перпендикулярни правиЗапиши уравнения на успоредни и перпендикулярни прави.
    • Знай, че успоредните прави имат равни наклони.
    • Знай, че перпендикулярните наклони се умножават до −1.
    • Запиши права през точка, успоредна или перпендикулярна на друга.
  5. 12Аритметични прогресииЗапиши аритметични прогресии като линейни функции.
    • Намери общата разлика.
    • Запиши явната формула aₙ = a₁ + (n − 1)d.
    • Запиши рекурентна формула.

Системи уравнения и неравенства

  1. 13Реши системи линейни уравненияРеши система линейни уравнения с графика, заместване или елиминиране.
    • Избери най-бързия метод.
    • Обясни защо елиминирането работи.
    • Посочи системи без решение или с безброй много решения.
  2. 14Системи линейни неравенстваНачертай система линейни неравенства и намери областта на решенията.
    • Начертай y ≤ 2x + 1 с плътна линия и щриховка.
    • Намери къде щрихованите области се застъпват.
    • Провери с точка.
  3. 15Моделиране със системиСъстави и реши системи за реални задачи.
    • Реши задачи за смеси и за сравнение на цени.
    • Използвай ограничения, за да намериш възможни решения.
    • Обясни решението в контекста.

Абсолютна стойност и частично определени функции

  1. 16Функции с абсолютна стойностНачертай функции с абсолютна стойност и техните трансформации.
    • Начертай y = |x| като форма V.
    • Начертай y = a|x − h| + k.
    • Намери върха и накъде се отваря.
  2. 17Частично определени и стъпални функцииНачертай и пресметни частично определени и стъпални функции.
    • Пресметни частично определена функция за дадена стойност.
    • Начертай всяка част върху нейното дефиниционно множество.
    • Моделирай такса за паркиране със стъпална функция.

Степени и експоненциални функции

  1. 18Свойства на степените и рационални степенни показателиОпрости изрази с цели и рационални степенни показатели.
    • Използвай всички правила за степени заедно.
    • Запиши x^(1/2) като √x и 8^(2/3) като 4.
    • Препиши корени с рационални степенни показатели.
  2. 19Експоненциален растеж и намаляванеЗапиши и начертай функции за експоненциален растеж и намаляване.
    • Запиши y = a(1 + r)^t за растеж.
    • Запиши y = a(1 − r)^t за намаляване.
    • Реши задачи за сложна лихва и население.
  3. 20Геометрични прогресииЗапиши геометрични прогресии като експоненциални функции.
    • Намери общото частно.
    • Запиши aₙ = a₁ × r^(n − 1).
    • Запиши рекурентна формула.
  4. 21Линейни и експоненциални моделиРеши дали ситуация е линейна или експоненциална и сравни растежа им.
    • Провери за равни разлики или равни частни.
    • Знай, че експоненциалният растеж накрая надминава линейния.
    • Построй модел от таблица.

Полиноми и разлагане

  1. 22Събери и извади полиномиСъбери и извади полиноми.
    • Назови степента и старшия коефициент.
    • Запиши полином в стандартен вид.
    • Събери подобни членове, за да събираш и изваждаш.
  2. 23Умножи полиномиУмножи полиноми.
    • Умножи едночлен по полином.
    • Умножи два двучлена с модел на лице.
    • Умножи двучлен по тричлен.
  3. 24Специални произведенияИзползвай модели за специални произведения: квадрати на двучлени и разлики на квадрати.
    • Използвай (a + b)² = a² + 2ab + b².
    • Използвай (a + b)(a − b) = a² − b².
    • Умножавай бързо с моделите.
  4. 25Разложи чрез най-големия общ множител и чрез групиранеРазложи, като изнесеш най-големия общ множител, и разложи чрез групиране.
    • Разложи 6x³ + 9x² като 3x²(2x + 3).
    • Разложи четири члена чрез групиране.
    • Провери с умножение.
  5. 26Разложи тричлениРазложи тричлени от вида ax² + bx + c.
    • Разложи x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4).
    • Разложи, когато a ≠ 1.
    • Разпознай тричлен, който не се разлага.
  6. 27Разложи специални случаиРазложи специални случаи: точни квадратни тричлени и разлики на квадрати.
    • Разложи x² − 49.
    • Разложи 4x² + 12x + 9.
    • Разложи напълно на няколко стъпки.

Квадратни функции и уравнения

  1. 28Начертай квадратни функцииНачертай квадратна функция и намери важните ѝ елементи.
    • Намери върха, оста на симетрия и пресечните точки.
    • Използвай x = −b/(2a), за да намериш върха.
    • Знай кога параболата се отваря нагоре или надолу.
  2. 29Връхна форма и трансформацииНачертай връхната форма y = a(x − h)² + k и опиши трансформациите.
    • Прочети върха (h, k).
    • Опиши разтягания, свивания, отражения и премествания.
    • Запиши квадратна функция от графиката ѝ.
  3. 30Реши квадратни уравнения чрез разлаганеРеши квадратно уравнение чрез разлагане.
    • Използвай свойството на нулевото произведение.
    • Приравни първо уравнението на 0.
    • Свържи решенията с пресечните точки с оста x.
  4. 31Реши квадратни уравнения с квадратни корениРеши квадратни уравнения с квадратни корени.
    • Реши x² = 25 и получи x = ±5.
    • Реши (x − 3)² = 16.
    • Опрости квадратните корени в отговорите.
  5. 32Допълване до точен квадратИзползвай допълване до точен квадрат, за да решиш квадратно уравнение и да намериш върха.
    • Прибави (b/2)² към двете страни.
    • Реши x² + 6x − 7 = 0.
    • Препиши стандартния вид във връхна форма.
  6. 33Квадратната формулаРеши всяко квадратно уравнение с квадратната формула.
    • Използвай x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a).
    • Използвай дискриминантата, за да преброиш реалните решения.
    • Избери най-добрия метод за дадено уравнение.
  7. 34Квадратни моделиИзползвай квадратни функции, за да моделираш хвърляния и лица.
    • Намери максималната височина на хвърлена топка.
    • Намери кога тя стига земята.
    • Намери размерите, които дават максимално лице.
  8. 35Линейно-квадратни системиРеши линейно-квадратна система с права и парабола.
    • Реши със заместване.
    • Знай, че може да има 0, 1 или 2 решения.
    • Провери с графика.

Статистика

  1. 36Разпределения на данни и стандартно отклонениеСравни разпределения на данни по форма, център, разсейване и стандартно отклонение.
    • Намери средната стойност и стандартното отклонение.
    • Избери медианата и интерквартилния размах за асиметрични данни.
    • Обясни ефекта на екстремните стойности.
  2. 37Двумерни таблици и относителна честотаНамери съвместни, маргинални и условни относителни честоти в двумерни таблици.
    • Направи двумерна таблица на честотите.
    • Намери относителни честоти по ред и по стълб.
    • Опиши възможни връзки.
  3. 38Корелация и остатъциНапасни права към данни, намери корелацията и прочети остатъците.
    • Намери правата на най-добро приближение с технология.
    • Тълкувай коефициента на корелация r.
    • Използвай графика на остатъците, за да прецениш напасването, и знай, че корелацията не е причинност.

Преговор, смесени задачи и предизвикателства

  1. 39Линеен и експоненциален преговорРеши смесени задачи от линейния и експоненциалния преговор с уравнения, неравенства, системи и експоненциални модели.
    • Реши уравнения и неравенства.
    • Запиши и начертай линейни функции и системи.
    • Построй експоненциални модели.
  2. 40Преговор за полиноми и квадратни уравненияРеши смесени задачи с полиноми, квадратни уравнения и данни.
    • Умножи и разложи полиноми.
    • Реши квадратни уравнения с най-добрия метод.
    • Обобщи и моделирай данни.
  3. 41Предизвикателство Алгебра 1Реши смесени въпроси от предизвикателството Алгебра 1 по главните единици.
    • Реши задачи от всяка единица без подсказки.
    • Избери верния модел за ситуация.
    • Намери местата, които искат още упражнения.