Всички уроци

Курс

Математика за 12. клас: Предварителен анализ

Анализирай функции, усвои тригонометрията, работи с вектори, полярни координати, конични сечения и матрици и хвърли първи поглед към границите.

Мини уроците поред, от анализа на функции до самостоятелното решаване на задачи. Накрая ще можеш да анализираш и комбинираш функции, да решаваш полиномни и рационални неравенства и да моделираш с експоненциални, логаритмични и логистични функции. Ще можеш да чертаеш всичките шест тригонометрични функции и обратните им, да доказваш тригонометрични тъждества и да решаваш тригонометрични уравнения. Ще можеш да решаваш всеки триъгълник и да използваш вектори за сили и движение. Ще можеш да чертаеш в полярни координати, да пишеш комплексни числа в полярна форма и да използваш теоремата на Де Моавър. Ще можеш да чертаеш параметрични уравнения и конични сечения и да решаваш системи с матрици. Ще можеш да доказваш твърдения с индукция и да намираш граници, първата идея на математическия анализ.

Как да ползваш тези уроци

  • Започни от урока, на който пише Направи това. Мини нататък, когато можеш сам да направиш реда под заглавието.
  • Първо играй Игри. После направи Тест. 8 от 10 верни, за да минеш. Работни листове са на хартия. Отговорите са отдолу.
  • Всеки урок стъпва върху предишния. Ако урокът е труден, върни се един назад.
  • Този курс те готви за математически анализ. Научи единичната окръжност наизуст. Води списък с тъждествата, докато ги учиш. Скицирай всяка графика на ръка, после я провери с приложение за графики.

Всеки урок има игри, тест и работни листове.

0 от 42

Функциите отново

  1. 1Анализирай поведението на функцииАнализирай къде една функция расте, намалява и достига екстремумите си.
    • Намери интервалите на растене и намаляване.
    • Намери относителните и абсолютните екстремуми.
    • Намери средната скорост на изменение в интервал.
  2. 2Комбинирай и разложи функцииКомбинирай стари функции в нови и разложи функция на композиция.
    • Композирай функции и намери дефиниционното множество.
    • Запиши h(x) = √(x² + 1) като f(g(x)).
    • Моделирай ситуация със съставна функция.
  3. 3Обратни функции и ограничения на дефиниционното множествоОграничи дефиниционното множество, за да има функцията обратна.
    • Използвай теста с хоризонтална права.
    • Ограничи дефиниционното множество на x², за да намериш обратната функция.
    • Чети стойности на обратната функция от таблица или графика.

Полиномни и рационални функции

  1. 4Поведение на полиноми и неравенстваРешавай полиномни неравенства с нули и таблици на знаците.
    • Намери всички нули и кратностите им.
    • Използвай таблица на знаците, за да решиш p(x) ≥ 0.
    • Моделирай обем и печалба с полиноми.
  2. 5Рационални функции и наклонени асимптотиЧертай рационални функции, включително наклонени асимптоти.
    • Намери вертикални, хоризонтални и наклонени асимптоти.
    • Намери дупки и пресечни точки.
    • Опиши поведението в краищата.
  3. 6Рационални неравенстваРешавай рационални неравенства.
    • Намери нулите и точките, в които не е дефинирана.
    • Използвай таблица на знаците.
    • Запиши решението в интервален запис.

Експоненциални, логаритмични и логистични модели

  1. 7Експоненциални и логаритмични функцииЧертай, решавай и моделирай с експоненциални и логаритмични функции.
    • Чертай преобразувания на експоненциални и логаритмични функции.
    • Решавай уравнения с логаритми.
    • Моделирай растеж със сложна лихва и непрекъснат растеж.
  2. 8Логистичен растежМоделирай растеж, който се изравнява, с логистична функция.
    • Прочети пределната вместимост.
    • Намери точката на най-бърз растеж.
    • Сравни логистичния и експоненциалния растеж.
  3. 9Полулогаритмични графики и изправяне на данниИзползвай логаритми и полулогаритмични графики, за да изправиш експоненциални данни.
    • Нанеси log y срещу x.
    • Знай, че експоненциалните данни изглеждат линейни на полулогаритмична графика.
    • Намери експоненциален модел от правата.

Тригонометрични функции

  1. 10Радиани и единичната окръжностНамери всичките шест тригонометрични стойности на всеки ъгъл в радиани върху единичната окръжност.
    • Превръщай между градуси и радиани.
    • Намери точни стойности при особени ъгли.
    • Намери дължина на дъга и ъглова скорост.
  2. 11Чертай всичките шест тригонометрични функцииЧертай всичките шест тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс и реципрочните им.
    • Чертай тангенс и котангенс с асимптоти.
    • Чертай секанс и косеканс от косинус и синус.
    • Намери период, амплитуда и отмествания.
  3. 12Обратни тригонометрични функцииПресмятай и чертай обратните тригонометрични функции: синус, косинус и тангенс.
    • Знай ограниченото дефиниционно множество на всяка функция.
    • Намери точни стойности като arcsin(1/2).
    • Пресметни композиции като cos(arctan x).
  4. 13Синусоидални моделиПострой синусоидални модели от данни и ги използвай за предвиждане.
    • Моделирай часовете дневна светлина и звукови вълни.
    • Намери честотата на вълна.
    • Използвай модела, за да намериш моменти от време.

Тригонометрични тъждества и уравнения

  1. 14Основни тъждестваИзползвай основните тъждества: реципрочни, частни, питагорови и четно-нечетни.
    • Използвай и трите питагорови тъждества.
    • Използвай четно-нечетни тъждества и тъждества за кофункции.
    • Опрости тригонометрични изрази.
  2. 15Провери тъждестваПровери тригонометрично тъждество стъпка по стъпка.
    • Работи само върху едната страна.
    • Препиши със синуси и косинуси.
    • Разложи на множители и събери дроби.
  3. 16Формули за сбор и разликаИзползвай формулите за сбор и разлика за синус, косинус и тангенс.
    • Намери точната стойност на sin 75°.
    • Докажи формулите.
    • Опрости изрази с тях.
  4. 17Формули за двоен ъгъл и половин ъгълИзползвай формулите за двоен ъгъл и половин ъгъл.
    • Използвай sin 2θ = 2 sin θ cos θ.
    • Използвай и трите форми на cos 2θ.
    • Намери точни стойности за половин ъгъл.
  5. 18Решавай тригонометрични уравненияРешавай тригонометрични уравнения в интервал и в общия случай.
    • Намери всички решения в [0, 2π).
    • Запиши общото решение.
    • Решавай с разлагане и с тъждества.

Триъгълници и вектори

  1. 19Синусовата теорема и нееднозначният случайРешавай триъгълници със синусовата теорема, включително нееднозначния случай SSA.
    • Използвай синусовата теорема.
    • Реши дали SSA дава 0, 1 или 2 триъгълника.
    • Решавай задачи за навигация.
  2. 20Косинусовата теорема и формулата на ХеронРешавай триъгълници с косинусовата теорема и намирай лицето с формулата на Херон.
    • Използвай косинусовата теорема за SAS и SSS.
    • Използвай формулата на Херон.
    • Избери правилната теорема за триъгълника.
  3. 21ВекториОписвай вектори с големина и посока и в компонентна форма.
    • Запиши вектор в компонентна форма.
    • Намери големината и ъгъла на посоката.
    • Намери единичен вектор.
  4. 22Действия с вектори и скаларното произведениеСъбирай, мащабирай и умножавай вектори със скаларното произведение.
    • Събирай вектори с компоненти и с чертежи.
    • Намери скаларното произведение и ъгъла между вектори.
    • Намери проекцията на един вектор върху друг.
  5. 23Приложения на векторитеИзползвай приложения на векторите за задачи за сила, скорост и работа.
    • Намери резултантната сила.
    • Намери скоростта на самолет спрямо земята при вятър.
    • Намери работата със скаларното произведение.

Полярни координати и комплексни числа

  1. 24Полярни координатиНанасяй точки в полярни координати и превръщай между полярна и правоъгълна форма.
    • Нанеси (r, θ).
    • Превръщай точки между полярна и правоъгълна форма.
    • Превръщай уравнения между формите.
  2. 25Полярни графикиЧертай полярни графики на окръжности, рози, лимасони и кардиоиди.
    • Чертай r = a cos θ и r = a sin θ.
    • Чертай рози r = a cos(nθ).
    • Използвай симетрия, за да чертаеш по-бързо.
  3. 26Комплексни числа в полярна формаЗаписвай комплексни числа в полярна форма и ги умножавай.
    • Нанеси комплексни числа и намери модула им.
    • Запиши z = r(cos θ + i sin θ).
    • Умножавай и дели в полярна форма.
  4. 27Теорема на Де МоавърИзползвай теоремата на Де Моавър, за да намираш степени и корени на комплексни числа.
    • Използвай теоремата на Де Моавър за степени.
    • Намери n-тите корени на комплексно число.
    • Нанеси корените на единицата.

Параметрични уравнения и конични сечения

  1. 28Параметрични уравненияЧертай параметрични уравнения и моделирай движение с тях.
    • Чертай крива от x(t) и y(t).
    • Изключи параметъра.
    • Моделирай движение на снаряд.
  2. 29ПараболиЧертай параболи от фокуса и директрисата им.
    • Използвай определението с фокус и директриса.
    • Запиши уравнението от фокуса и върха.
    • Обясни защо сателитните чинии са параболи.
  3. 30ЕлипсиЧертай елипси и намирай фокусите им.
    • Използвай (x − h)²/a² + (y − k)²/b² = 1.
    • Намери фокусите с c² = a² − b².
    • Моделирай орбити на планети.
  4. 31ХиперболиЧертай хиперболи с асимптотите и фокусите им.
    • Използвай (x − h)²/a² − (y − k)²/b² = 1.
    • Намери асимптотите и фокусите.
    • Разпознай конично сечение от общото му уравнение.

Матрици и системи

  1. 32Действия с матрициСъбирай, мащабирай и умножавай матрици.
    • Знай размерите, нужни за умножение.
    • Умножи две матрици.
    • Знай, че умножението на матрици не е комутативно.
  2. 33Детерминанти и обратни матрициНамери детерминантата и обратната матрица.
    • Намери детерминанта 2×2 и 3×3.
    • Намери обратна матрица 2×2.
    • Знай, че матрица с детерминанта 0 няма обратна.
  3. 34Решавай системи с матрициРешавай системи уравнения с матрици.
    • Запиши система като AX = B.
    • Реши с обратна матрица.
    • Използвай редукция по редове върху разширена матрица.
  4. 35Матриците като преобразуванияИзползвай матрици като преобразувания, за да въртиш, отразяваш и мащабираш фигури.
    • Запиши матрицата на ротация.
    • Състави преобразувания чрез умножение.
    • Знай, че детерминантата дава коефициента за лицето.

Индукция и граници

  1. 36Математическа индукцияДокажи твърдение за всяко естествено число с математическа индукция.
    • Докажи базовия случай.
    • Докажи индукционната стъпка.
    • Докажи формула за сбор.
  2. 37Въведение в границитеНамирай граници от графики, таблици и алгебра.
    • Чети едностранни граници от графика.
    • Намирай граници със заместване и разлагане.
    • Познай кога граница не съществува.
  3. 38Граници в безкрайност и непрекъснатостНамирай граници в безкрайност и решавай къде функцията е непрекъсната.
    • Свържи границите в безкрайност с хоризонталните асимптоти.
    • Намери границата на безкрайна редица.
    • Назови отстраними, скокообразни и безкрайни прекъсвания.
  4. 39Скорости на изменение и допирателниНамери моментната скорост на изменение с граница и наклона на допирателната.
    • Намери наклона на секуща.
    • Използвай граница, за да намериш наклона на допирателна.
    • Свържи я с моментната скорост.

Преговор, смесена практика и предизвикателства

  1. 40Преговор на функции и тригонометрияРешавай смесени задачи по функции и тригонометрия, с тъждества и тригонометрични уравнения.
    • Анализирай всяко семейство функции.
    • Доказвай тъждества и решавай тригонометрични уравнения.
    • Решавай триъгълници.
  2. 41Преговор на вектори, полярно, конични сечения и границиРешавай смесени задачи с вектори, полярни форми, конични сечения, матрици и граници.
    • Използвай вектори и полярни координати.
    • Чертай конични сечения и решавай матрични системи.
    • Намирай граници.
  3. 42Предизвикателство по предварителен анализЗавърши предизвикателството по предварителен анализ със смесени въпроси от главните единици.
    • Решавай задачи от всяка единица без подсказки.
    • Обясни всяка стъпка.
    • Намери темите, които искат повече практика.