Всички уроци

Курс

Математика за 11. клас: Алгебра 2

Работи с комплексни числа и с полиномни, рационални, радикални, експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции. Използвай вероятности и статистика, за да решаваш.

Минавай уроците поред, от основните функции и преобразуванията до самостоятелното решаване на задачи. Накрая ще можеш да правиш преобразувания, композиция и обратна функция и да решаваш квадратни уравнения с комплексни решения. Ще можеш да чертаеш полиномни функции, да делиш полиноми и да намираш всичките им нули. Ще можеш да опростяваш рационални и радикални изрази, да чертаеш техните функции и да решаваш техните уравнения. Ще можеш да използваш логаритми, за да решаваш експоненциални уравнения и да строиш експоненциални и логаритмични модели на растеж. Ще можеш да намираш суми на аритметични и геометрични редове. Ще можеш да използваш единичната окръжност, за да чертаеш и моделираш със синус и косинус. Ще можеш да намираш условни вероятности, да използваш нормалното разпределение и да преценяваш изводи от анкети и експерименти.

Как да ползваш тези уроци

  • Започни от урока, на който пише Направи това. Мини нататък, когато можеш сам да направиш реда под заглавието.
  • Първо играй Игри. После направи Тест. 8 от 10 верни, за да минеш. Работни листове са на хартия. Отговорите са отдолу.
  • Всеки урок стъпва на предишния. Ако урокът е труден, върни се един назад.
  • За всяко ново семейство функции първо научи основната графика, после нейните преобразувания. Скицирай на ръка, после провери с приложение за графики. Провери всяко решение в първоначалното уравнение, защото някои стъпки добавят странични решения.

Всеки урок има игри, тест и работни листове.

0 от 40

Функции и преобразувания

  1. 1Основни функции и преобразуванияНачертай преобразуването y = a·f(b(x − h)) + k от основна функция.
    • Разпознай линейни, квадратни, с абсолютна стойност и кубични основни графики.
    • Опиши премествания, разтягания и отражения.
    • Различи четни и нечетни функции.
  2. 2Действия с функции и композицияСъбирай, изваждай, умножавай, дели функции и прави тяхната композиция.
    • Намери (f + g)(x) и (fg)(x).
    • Намери f(g(x)) и g(f(x)).
    • Намери дефиниционното множество на съставна функция.
  3. 3Обратни функцииНамери и начертай обратната функция на една функция.
    • Размени x и y и реши спрямо y.
    • Знай, че обратната функция е отражение спрямо y = x.
    • Провери обратните функции с композиция и ограничи дефиниционните множества.

Квадратни уравнения и комплексни числа

  1. 4Комплексни числаСъбирай, изваждай, умножавай и дели комплексни числа.
    • Използвай i² = −1.
    • Записвай отговорите във вида a + bi.
    • Дели с комплексно спрегнатото.
  2. 5Квадратни уравнения с комплексни решенияРеши всяко квадратно уравнение, включително с комплексни решения.
    • Използвай формулата за корените, когато дискриминантата е отрицателна.
    • Знай, че комплексните решения идват в спрегнати двойки.
    • Свържи липсата на пресечни точки с оста x с комплексни решения.
  3. 6Квадратни неравенства и системиРеши квадратни неравенства и нелинейни системи.
    • Реши x² − x − 6 > 0 с таблица на знаците.
    • Начертай квадратно неравенство.
    • Реши система с права и окръжност.

Полиномни функции

  1. 7Чертай полиномни функцииНачертай полиномна функция по степен, поведение в краищата и нули.
    • Намери поведението в краищата от старшия член.
    • Знай как кратността променя графиката при нула.
    • Намери повратни точки и относителни екстремуми.
  2. 8Дели полиномиДели полиноми с деление под черта и синтетично деление.
    • Използвай деление на полиноми под черта.
    • Използвай синтетично деление за x − c.
    • Запиши резултата с остатък.
  3. 9Теорема за остатъка и теорема за делителяИзползвай теоремата за остатъка и теоремата за делителя, за да намираш делители.
    • Знай, че p(a) е остатъкът при деление на x − a.
    • Знай, че x − a е делител, когато p(a) = 0.
    • Разложи кубичен полином от една известна нула.
  4. 10Намери всички нулиНамери всички реални и комплексни нули на полином.
    • Използвай теоремата за рационалните корени, за да изброиш кандидати.
    • Знай основната теорема на алгебрата.
    • Запиши полином от неговите нули.
  5. 11Полиномни тъждестваДокажи и използвай полиномни тъждества.
    • Разложи суми и разлики на кубове.
    • Докажи тъждество чрез разкриване на скоби.
    • Получи питагорови тройки с тъждество.
  6. 12Биномната теоремаРазвий (a + b)ⁿ с триъгълника на Паскал и биномната теорема.
    • Построй триъгълника на Паскал.
    • Използвай комбинации за коефициентите.
    • Намери един член от развитието.

Рационални функции

  1. 13Опрости рационални изразиОпрости рационален израз и кажи ограниченията му.
    • Разложи числителя и знаменателя.
    • Съкрати общите множители.
    • Изброй стойностите, които не са позволени.
  2. 14Умножавай и дели рационални изразиУмножавай и дели рационални изрази.
    • Разлагай преди умножение.
    • Дели, като умножиш по реципрочната стойност.
    • Опрости сложни дроби.
  3. 15Събирай и изваждай рационални изразиСъбирай и изваждай рационални изрази с различни знаменатели.
    • Намери най-малкия общ знаменател.
    • Преработи всяка дроб и събери.
    • Опрости резултата.
  4. 16Чертай рационални функцииНачертай рационални функции с асимптотите и дупките им.
    • Намери вертикални асимптоти и дупки.
    • Намери хоризонтални асимптоти от степените.
    • Начертай y = a/(x − h) + k.
  5. 17Реши рационални уравненияРеши рационални уравнения и провери за странични решения.
    • Умножи по най-малкия общ знаменател.
    • Отхвърли решения, които правят знаменател 0.
    • Реши задачи за темп на работа и средна цена.

Радикални функции

  1. 18Радикални изразиОпрости и събери n-ти корени в радикален израз.
    • Опрости ∛54 и √(50x³).
    • Събирай, изваждай и умножавай радикали.
    • Рационализирай знаменател.
  2. 19Чертай функции с квадратен и кубичен коренНачертай функции с квадратен и кубичен корен и техните преобразувания.
    • Начертай y = √x и y = ∛x.
    • Намери дефиниционното множество и множеството от стойности.
    • Свържи ги като обратни на x² и x³.
  3. 20Реши радикални уравненияРеши радикални уравнения и провери за странични решения.
    • Първо изолирай радикала.
    • Повдигни двете страни на степен.
    • Провери всяко решение в първоначалното уравнение.

Експоненциални и логаритмични функции

  1. 21Експоненциални функции и eНачертай експоненциални функции и използвай числото e.
    • Начертай y = abˣ и намери асимптотата ѝ.
    • Използвай непрекъснат растеж с A = Pe^(rt).
    • Сравни периодите на олихвяване.
  2. 22ЛогаритмиПреминавай между експоненциален и логаритмичен вид и чертай логаритмични функции.
    • Знай, че log_b x = y означава bʸ = x.
    • Пресмятай десетични и естествени логаритми.
    • Начертай y = log_b x като обратна на bˣ.
  3. 23Свойства на логаритмитеРазвий и събери логаритми.
    • Използвай правилата за произведение, частно и степен.
    • Развий и събери изрази.
    • Използвай формулата за смяна на основата.
  4. 24Реши експоненциални и логаритмични уравненияРеши експоненциални и логаритмични уравнения.
    • Вземи логаритъм от двете страни, за да решиш 3ˣ = 20.
    • Препиши в експоненциален вид, за да решиш логаритмични уравнения.
    • Отхвърли решения извън дефиниционното множество.
  5. 25Експоненциални и логаритмични моделиПострой и използвай експоненциални и логаритмични модели.
    • Намери време за удвояване и период на полуразпад.
    • Използвай скалите за pH и децибели.
    • Напасни експоненциален модел към данни.

Редици и редове

  1. 26Сигма записЗаписвай и пресмятай суми в сигма запис.
    • Прочети индекса, границите и правилото.
    • Развий кратка сума и я събери.
    • Запиши сума в сигма запис.
  2. 27Аритметични редовеНамери сумата на аритметичен ред.
    • Използвай Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2.
    • Намери броя на членовете.
    • Реши задачи за места и спестявания.
  3. 28Геометрични редовеНамери сумата на крайни и безкрайни геометрични редове.
    • Използвай Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r).
    • Знай, че безкраен ред се събира, когато |r| < 1.
    • Намери вноски по заем и ипотека.

Тригонометрични функции

  1. 29Единичната окръжностНамери синус и косинус на всеки ъгъл с единичната окръжност.
    • Начертай ъгли в стандартно положение в градуси и радиани.
    • Намери точни стойности при особени ъгли.
    • Използвай референтни ъгли и знаци по квадрант.
  2. 30Чертай синус и косинусНачертай синус и косинус с амплитуда, период и отмествания.
    • Намери амплитудата и периода.
    • Начертай фазови и вертикални отмествания.
    • Начертай y = tan x.
  3. 31Моделирай периодично поведениеНапиши тригонометрична функция, която моделира периодично поведение.
    • Моделирай приливи и виенски колела.
    • Намери средната линия и амплитудата от данни.
    • Използвай модела, за да предскажеш.
  4. 32Питагоровата идентичностДокажи и използвай питагоровата идентичност sin²θ + cos²θ = 1.
    • Докажи идентичността с единичната окръжност.
    • Намери cos θ от sin θ и квадранта.
    • Опрости тригонометрични изрази.

Вероятности и статистика

  1. 33Пермутации и комбинацииБрой пермутации и комбинации.
    • Използвай принципа на броенето.
    • Знай кога редът има значение.
    • Използвай nPr и nCr, за да намираш вероятности.
  2. 34Условна вероятност и независимостНамери условни вероятности и провери за независимост.
    • Използвай P(A | B) = P(A и B) / P(B).
    • Използвай правилото за събиране.
    • Знай, че A и B са независими, когато P(A и B) = P(A)P(B).
  3. 35Нормалното разпределениеИзползвай нормалното разпределение, за да оценяваш проценти.
    • Използвай правилото 68-95-99.7.
    • Намери и тълкувай z-стойности.
    • Знай кога нормален модел пасва.
  4. 36Анкети, експерименти и изследванияРазличи анкети, експерименти и наблюдателни изследвания.
    • Знай как случайното разпределение намалява пристрастието.
    • Знай, че само експериментите показват причина и следствие.
    • Забележи пристрастие във въпрос от анкета.
  5. 37Допустима грешка и изводИзползвай симулация и допустима грешка, за да преценяваш изводи.
    • Оцени дял в популацията от извадка.
    • Тълкувай допустимата грешка.
    • Използвай симулация, за да решиш дали разлика е значима.

Преговор, смесени задачи и предизвикателства

  1. 38Преговор на семейства функцииРеши смесени задачи от семействата полиномни, рационални, радикални и експоненциални функции.
    • Свържи графика с нейното семейство функции.
    • Реши уравнения от всеки вид.
    • Провери за странични решения.
  2. 39Преговор на редове, тригонометрия и статистикаРеши смесени задачи с редове, тригонометрични функции, вероятности и статистика.
    • Събери аритметични и геометрични редове.
    • Чертай и моделирай с тригонометрични функции.
    • Намери вероятности и тълкувай статистика.
  3. 40Предизвикателство Алгебра 2Реши смесени въпроси, които покриват големите единици.
    • Реши задачи от всяка единица без подсказки.
    • Избери подходящата функция, за да моделираш ситуация.
    • Намери местата, които искат още упражнение.