Всички уроци

Курс

Математика за 10. клас: Геометрия

Пиши доказателства, използвай преобразувания, докажи, че триъгълници са еднакви и подобни, решавай правоъгълни триъгълници с тригонометрия и учи окръжности и тела.

Мини уроците по ред, от точки и прави до самостоятелно решаване на задачи. Накрая можеш да използваш логика и построения, да доказваш теореми за прави и ъгли и да описваш еднаквост с твърди движения. Можеш да доказваш, че триъгълници са еднакви, да използваш свойства на триъгълници и четириъгълници и да доказваш, че триъгълници са подобни с хомотетии. Можеш да решаваш правоъгълни триъгълници с Питагоровата теорема и тригонометрия и да използваш синусовата и косинусовата теорема. Можеш да намираш дължини на дъги, лица на сектори и вписани ъгли и да пишеш уравнение на окръжност. Можеш да пишеш доказателства с координати и да намираш обеми на призми, цилиндри, пирамиди, конуси и сфери.

Как да ползваш тези уроци

  • Започни от урока, на който пише Направи това. Мини нататък, когато можеш сам да направиш реда под заглавието.
  • Първо играй Игри. После направи Тест. 8 от 10 верни, за да минеш. Работни листове са на хартия. Отговорите са отдолу.
  • Всеки урок стъпва на предишния. Ако урокът е труден, върни се един назад.
  • Начертай и надпиши схема за всяка задача. Дръж пергел, линия и транспортир наблизо. В доказателство дай причина за всяко твърдение.

Всеки урок има игри, тест и работни листове.

0 от 43

Основи, построения и логика

  1. 1Точки, прави и равниниНазови и опиши точки, прави, лъчи, отсечки и равнини.
    • Използвай верния запис за прави, лъчи и отсечки.
    • Знай неопределените понятия в геометрията.
    • Опиши как се пресичат прави и равнини.
  2. 2Разстояние, среда и мярка на ъгълНамери разстояния, среди и мерки на ъгли.
    • Използвай формулата за разстояние в координатната равнина.
    • Използвай формулата за среда.
    • Използвай аксиомите за събиране на отсечки и на ъгли.
  3. 3ПостроенияПострой копия, ъглополовящи и перпендикуляри с пергел и линия.
    • Копирай отсечка и ъгъл.
    • Разполовявай отсечка и ъгъл.
    • Построй перпендикулярна и успоредна права.
  4. 4Логика и условни твърденияПиши с логика условни твърдения, обратни твърдения и контрапримери.
    • Напиши обратното, противоположното и контрапозитивното.
    • Намери контрапример за невярно твърдение.
    • Различи индуктивното от дедуктивното разсъждение.

Прави, ъгли и доказателства

  1. 5Успоредни прави и секущаИзползвай двойките ъгли, които образуват успоредни прави и секуща.
    • Назови съответни, кръстни вътрешни и прилежащи ъгли.
    • Намери неизвестни ъгли.
    • Докажи, че правите са успоредни, от двойки ъгли.
  2. 6Пиши доказателстваПиши доказателства в две колони и в абзац.
    • Използвай определения, аксиоми и теореми като причини.
    • Използвай свойства от алгебрата в доказателства.
    • Напиши доказателство в две колони и като абзац.
  3. 7Докажи теореми за прави и ъглиДокажи теореми за прави и ъгли: за връхни ъгли и симетрали.
    • Докажи, че връхните ъгли са еднакви.
    • Докажи, че точките от симетралата са на равни разстояния от краищата.
    • Докажи теоремата за кръстните вътрешни ъгли.

Преобразувания и еднаквост

  1. 8Твърди движенияОпиши твърдите движения, транслации, отражения и ротации, като функции.
    • Пиши правила като (x, y) → (−y, x).
    • Опиши редица от преобразувания.
    • Знай, че твърдите движения пазят дължини и ъгли.
  2. 9Еднаквост чрез твърди движенияПокажи, че фигури са еднакви с редица от твърди движения.
    • Определи еднаквостта с твърди движения.
    • Намери редица, която пренася една фигура в друга.
    • Назови съответните части.
  3. 10СиметрияНамери осева и ротационна симетрия във фигури.
    • Намери осите на симетрия на многоъгълник.
    • Намери ъгъла на ротационната симетрия.
    • Опиши преобразувания, които изобразяват фигура в себе си.

Триъгълници

  1. 11Еднаквост на триъгълнициДокажи еднаквост на триъгълници с SSS, SAS, ASA, AAS и HL.
    • Избери верния признак за еднаквост.
    • Знай защо SSA не върши работа.
    • Използвай CPCTC в доказателства.
  2. 12Теореми за ъглите в триъгълникДокажи и използвай теоремите за сбора на ъглите и за външния ъгъл.
    • Докажи, че ъглите на триъгълник дават 180°.
    • Използвай теоремата за външния ъгъл.
    • Намери неизвестни ъгли с алгебра.
  3. 13Равнобедрени и равностранни триъгълнициИзползвай теоремата за ъглите при основата на равнобедрени и равностранни триъгълници и нейната обратна.
    • Знай, че ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са равни.
    • Използвай обратната теорема, за да намериш равни страни.
    • Знай, че равностранен триъгълник е равноъгълен.
  4. 14Симетрали, медиани и височиниНамери центъра на описаната окръжност, центъра на вписаната, медицентъра и ортоцентъра със симетрали, медиани и височини.
    • Построй всеки център на триъгълника.
    • Знай, че медицентърът дели медиана в отношение 2 към 1.
    • Използвай теоремата за средната отсечка.
  5. 15Неравенства в триъгълникИзползвай неравенствата в триъгълник, за да решиш дали три дължини правят триъгълник, и подреди страните и ъглите му.
    • Използвай неравенството на триъгълника.
    • Знай, че най-дългата страна е срещу най-големия ъгъл.
    • Намери интервала от възможни дължини за третата страна.

Многоъгълници и четириъгълници

  1. 16Сбор на ъглите в многоъгълникНамери сбора на вътрешните и външните ъгли на многоъгълник.
    • Използвай (n − 2) × 180° за вътрешния сбор.
    • Знай, че външните ъгли дават 360°.
    • Намери всеки ъгъл на правилен многоъгълник.
  2. 17Свойства на успоредницитеДокажи и използвай свойствата на успоредниците.
    • Докажи, че срещуположните страни и ъгли са еднакви.
    • Докажи, че диагоналите се разполовяват.
    • Покажи, че четириъгълник е успоредник.
  3. 18Правоъгълници, ромбове и квадратиИзползвай свойствата на правоъгълници, ромбове и квадрати.
    • Знай, че диагоналите на правоъгълник са еднакви.
    • Знай, че диагоналите на ромб са перпендикулярни.
    • Класифицирай четириъгълник по свойствата му.
  4. 19Трапеци и делтоидиИзползвай свойствата на трапеци и делтоиди.
    • Използвай теоремата за средната отсечка на трапец.
    • Знай свойствата на равнобедрен трапец.
    • Знай, че диагоналите на делтоид са перпендикулярни.

Подобие

  1. 20ХомотетииПрави хомотетии на фигури и опиши действието на коефициента.
    • Направи хомотетия от център с коефициент k.
    • Знай, че хомотетия изобразява права в успоредна права.
    • Определи подобието с хомотетии и твърди движения.
  2. 21Подобни триъгълнициДокажи, че триъгълници са подобни, с AA, SAS и SSS.
    • Използвай признака за подобие AA.
    • Състави и реши пропорции за липсващи страни.
    • Реши задачи за непряко измерване със сенки.
  3. 22Пропорции в триъгълнициИзползвай пропорции в триъгълници с теоремата за делител на страните и теоремата за ъглополовящата.
    • Използвай теоремата за делител на страните.
    • Използвай теоремата за ъглополовящата в триъгълник.
    • Докажи Питагоровата теорема с подобни триъгълници.

Правоъгълни триъгълници и тригонометрия

  1. 23Питагоровата теорема и нейната обратнаИзползвай Питагоровата теорема и нейната обратна и класифицирай триъгълници по страните им.
    • Намери липсващи страни в правоъгълни триъгълници.
    • Използвай обратната теорема, за да провериш дали триъгълник е правоъгълен.
    • Класифицирай триъгълници като остроъгълни, правоъгълни или тъпоъгълни.
  2. 24Специални правоъгълни триъгълнициНамери страните на специалните правоъгълни триъгълници 45-45-90 и 30-60-90.
    • Използвай отношението 1 : 1 : √2.
    • Използвай отношението 1 : √3 : 2.
    • Остави точните отговори с корени.
  3. 25Синус, косинус и тангенсНамери синус, косинус и тангенс в правоъгълен триъгълник.
    • Използвай SOH CAH TOA.
    • Знай, че отношенията идват от подобни триъгълници.
    • Знай, че sin A = cos (90° − A).
  4. 26Решавай правоъгълни триъгълнициРешавай правоъгълни триъгълници: намери липсващи страни и ъгли с тригонометрия.
    • Използвай обратни тригонометрични функции, за да намериш ъгли.
    • Реши задачи за ъгъл на издигане и ъгъл на снижаване.
    • Закръгляй отговорите разумно.
  5. 27Синусовата и косинусовата теоремаРеши всеки триъгълник със синусовата или с косинусовата теорема.
    • Използвай синусовата теорема.
    • Използвай косинусовата теорема.
    • Намери лицето с 1/2 ab sin C.

Окръжности

  1. 28Части на окръжността и дъгиНазови части на окръжност и намери мерките на дъгите.
    • Назови радиуси, хорди, диаметри, секущи и допирателни.
    • Намери мерките на малката и голямата дъга.
    • Знай, че всички окръжности са подобни.
  2. 29Дължина на дъга и радианиНамери дължината на дъга и превръщай между градуси и радиани.
    • Намери дължината на дъгата като част от обиколката.
    • Определи какво е радиан.
    • Превръщай между градуси и радиани.
  3. 30Лице на секторНамери лицето на сектор.
    • Намери лицето на сектора като част от лицето на кръга.
    • Намери лицето на отрез от кръг.
    • Реши задачи за пица и пръскачка.
  4. 31Вписани ъглиИзползвай връзката между вписани ъгли и дъги.
    • Знай, че вписан ъгъл е половината от дъгата си.
    • Знай, че ъгъл, вписан в полуокръжност, е прав.
    • Знай, че срещуположните ъгли на вписан четириъгълник дават 180°.
  5. 32Допирателни, хорди и секущиИзползвай свойствата на допирателни, хорди и секущи.
    • Знай, че допирателната е перпендикулярна на радиуса.
    • Използвай произведения на отсечки за хорди и секущи.
    • Намери ъгли, образувани от хорди, секущи и допирателни.
  6. 33Уравнения на окръжностиПиши и чертай уравнението на окръжност.
    • Използвай (x − h)² + (y − k)² = r².
    • Намери центъра и радиуса с допълване до квадрат.
    • Реши дали точка лежи на окръжност.

Координатна геометрия

  1. 34Доказателства с координатиДоказвай геометрични факти с координати.
    • Постави фигурите в координатната равнина разумно.
    • Използвай наклон и разстояние, за да класифицираш четириъгълник.
    • Докажи, че средна отсечка е успоредна на страна.
  2. 35Раздели отсечкаНамери точката, която дели отсечка в дадено отношение.
    • Намери точката на 2/5 от пътя от A до B.
    • Раздели отсечка в отношение 1 : 3.
    • Свържи деленето на отсечка с хомотетии.
  3. 36Периметър и лице с координатиНамери периметъра и лицето на многоъгълници в координатната равнина.
    • Използвай формулата за разстояние за периметъра.
    • Намери лицето, като разделиш фигурата или я затвориш в правоъгълник.
    • Намери лицето на триъгълник от върховете му.

Обем и модели

  1. 37Обем на призми и цилиндриНамери и обясни обемите на призми и цилиндри.
    • Използвай V = Bh.
    • Обясни принципа на Кавалиери.
    • Намери обема на наклонени тела.
  2. 38Пирамиди, конуси и сфериНамери обема и лицето на повърхнината на пирамиди, конуси и сфери.
    • Използвай V = 1/3 Bh.
    • Използвай V = 4/3 πr³ и SA = 4πr².
    • Реши задачи за съставни тела.
  3. 39Сечения и ротационни телаОпиши сечения и тялото, което се получава при въртене на фигура.
    • Назови сечения на призми, цилиндри и конуси.
    • Опиши тялото от въртене на правоъгълник или триъгълник.
    • Свържи фигури 2D с тела 3D.
  4. 40Модели за плътност и проектИзползвай геометрия, за да моделираш задачи за плътност и проект.
    • Намери гъстотата на населението на квадратна миля.
    • Намери масата на предмет от плътността му.
    • Проектирай кутия, която изпълнява условие.

Преговор, смесени задачи и предизвикателства

  1. 41Преговор на доказателства и еднаквостРеши смесени задачи за доказателства, еднаквост, преобразувания, триъгълници и четириъгълници.
    • Пиши доказателства с причини.
    • Докажи, че триъгълници са еднакви и подобни.
    • Използвай свойства на четириъгълници.
  2. 42Преговор на тригонометрия, окръжности и обемРеши смесени задачи за тригонометрия, окръжности и обем на тела.
    • Реши правоъгълни и остроъгълни или тъпоъгълни триъгълници.
    • Намери дъги, сектори и уравнения на окръжности.
    • Намери обеми на тела.
  3. 43Предизвикателство по геометрияЗавърши предизвикателството по геометрия със смесени въпроси от големите раздели.
    • Реши задачи от всеки раздел без подсказки.
    • Обясни всеки отговор с теорема.
    • Намери темите, които искат още упражнения.